Integre las ecuaciones para ρ y v en un fluido compresible en una dimension, sin viscosidad ni gravedad, y usando el método de las características como fue visto en clase. Las ecuaciones a resolver son:

Latex \begin{flalign*} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \dfrac{\partial \rho v}{\partial x} &= 0\\ \rho \dfrac{\partial v}{\partial t} + \rho v \dfrac{\partial v}{\partial x} &= - \dfrac{\partial P}{\partial x}\\ P &= A \rho^\gamma \end{flalign*}

La última es la ecuación de estado. Para ella utilice γ = 5/3 (a qué corresponde?) con A(x ≤ 1/3) = 4 y A(x > 1/3) = 1.

NOTA: el cambio de ecuación de estado en x = 1/3 hará que los pulsos que se propagan por el fluido se reflejen y difracten al pasar por la discontinuidad.

Considere x entre 0 y 1 con las siguientes condiciones iniciales y de borde:

Latex \begin{flalign*} v(0, t) &= 0\\ v(1, t) &= 0\\ \rho(x > 0.1, 0) &= 1\\ \rho(x \leq 0.1, 0) & = 1 + 0.0RRR (1 + cos(10 \pi x))\\ \end{flalign*}

NOTA: la condición inicial es un pulso de sobredensidad en x=0 que se propagará por el fluido.

donde RRR son los últimos 3 dígitos de su RUT (antes del dígito verificador). Integre las ecuaciones hasta que el tiempo alcance al menos un valor de 1.2 al centro del intervalo 0 ≤ x ≤ 1.

Para resolver el problema divida el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 en a lo menos 10 mil trazos iguales. Debe diseñar con cuidado el algoritmo para tratar los bordes. Explique bien en su informe lo que hizo. También recuerde que el algoritmo es levemente distinto al pasar de tiempo par a tiempo impar y vice-versa.

NOTA: A diferencia de tareas anteriores, el output de su código será mucho más masivo, puede que tarde más en correr y no tendrá necesariamente una grilla uniforme en x y t. Por estos motivos se recomienda que guarde el output en un archivo separado y escriba un script aparte para crear los gráficos. Más detalles a continuación.

1. Dibuje las funciones ρ y v como función de x para t = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, y 1.0. Para cada uno de esos tiempo haga un solo plot que combine ρ(x) y (1 + v(x)).

2. En el plano (x, t), dibuje las superficie ρ(x, t) y v(x, t) de modo que se pueda ver la reflexión que ocurre en x = 1/3. Esto lo puede hacer usando curvas de nivel o ploteos de superficie como hizo en las tareas anteriores.

NOTAS PARA LOS GRAFICOS

En su algoritmo Ud. implementará un barrido sobre x luego del cual se habrá avanzado en un paso temporal. Luego de cada paso temporal tendrá el mismo número de valores x y t, pero los pasos ya no serán uniformes ni en x ni en t. La recomendación es que no guarde todos los valores, sino que cada, por ejemplo, 100 barridos, guarde 1 de cada 100 valores de x, t, ρ y v. Luego utilice rutinas como plt.pcolormesh para hacer los gráficos de superficie.

Para los otros gráficos, aquellos a tiempo constante, se sugiere usar alguna rutina de interpolación como scipy.interpolate.interp2d para obtener los valores de ρ y v en un tiempo dado, para todos los x.

Otras Notas.

• Utilice git durante el desarrollo de la tarea para mantener un historial de los cambios realizados. La siguiente cheat sheet le puede ser útil. Evaluar el uso efectivo de git. Recuerde hacer cambios significativos pero relativamente pequeños y guardar seguido. Evite hacer commits de código que no compila y deje mensajes que permitan entender los cambios realizados.

• Evaluaremos su uso correcto de python. Si define una función relativamente larga o con muchos parámetros, recuerde escribir el doctsring que describa los parametros y que es lo que hace la función. También recuerde usar nombres explicativos para las variables y las funciones. El mejor nombre es aquel que permite entender que hace la función sin tener que leer su implementación.

• Los códigos entregados deben pasar las reglas de PEP8. En la línea de comando puede intentar pep8 <script.py> y asegurarse de que no hay errores ni advertencias. Los comandos pep8 --show-source <script.py> y pep8 --show-pep8 <script.py> que vimos en clase le pueden ser útiles. Si es de aquellos que resuelven su tarea usando el ipython notebook, entonces exporte la tarea a un archivo normal de python y asegúrese de que pasa el test de PEP8.

• La tarea se entrega como un pull request en github. El pull request debe incluir todos los códigos usados además de su informe.

• El informe debe ser entregado en formato pdf, este debe ser claro sin información ni de más ni de menos.