旅行商问题（最短路径问题）（英语：travelling salesman problem, TSP）是这样一个问题：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合优化中的一个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。

商旅问题在组合优化中是 NP-hard问题；

关于 P、NP、NP-hard、NP-C问题，做了如下总结；

• P问题：计算时间与计算复杂度/样本成倍数关系；

• NP问题：计算时间与复杂度/样本成指数关系（复杂度/样本量越大，计算量/时间越大）； 或目前上，无法对其做一般性的归纳总结，如百度百科找出最大质数问题等等；

  本人了解的 NP问题 更多的是 探讨计算时间与复杂度/样本成指数关系；

• NP-hard问题：简单的示例是子集集合问题，是在 N=NP 条件下，NP问题 是 NP-hard问题 的子集；

• NP完全问题：满足 NP问题 和 NP-hard 问题，在特定条件下，众多 NP问题 可归纳为某一类 NP问题，解决了归纳的 NP问题，就解决了该集合内的所有 NP问题；

商旅问题（travelling salesman problem, tsp）在给定的城市列表情况下，寻找一条最短且有效的路径是巨大挑战的，因为：

• 10个候选城市且从同一个地方出发（有固定起点）有 $(10 - 1)! = 9 \times 8 \times ... \times 1 = 362880$ 种路径方案，若路径无顺序之分（a-b-c与c-b-a属同一种路径方案）则有 362880/2 = 181440 种路径方案；
• 假如候选城市达到15个，以有固定起点方案计算，路径方案高达870亿种，即使以无顺序方式计算，仍有435亿种；

若，候选城市15个，采用暴力方式搜索，如下图所示，即使每秒搜索100万次，也要超过12小时不间断的搜索，才能搜索到最佳路径，这个在算法上是“不可接受的事”，平常中基本上没有人会为等机器反馈结果，而等上12个小时，除非等人，在平常等待机器反馈结果，可忍受时间是3秒左右；

因此，需要一种搜索算法，在候选城市30个内，计算时间是秒级的，甚至可以牺牲最优路径，在规定的时间内，搜索到全局最优或接近于全局最优的解；

上文讲到 商旅问题在组合优化中是 NP-hard问题，而 蚁群算法（Ant Colony Algorithm）是解决 NP问题 的一种选择方法；

关于商旅问题更详细的说明，请阅读

优化 | 浅谈旅行商问题（TSP）的启发式算法

“旅行商问题”太棘手？用图神经网络寻找最优解

蚁群算法的原理和实现基于：蚁群算法原理及其应用¹

蚁群算法（Ant Colony Algorithm） 最开始由意大利学者通过观察蚂蚁觅食，得到的仿生算法；

仿生算法：蚁群算法、遗传算法、粒子群算法等；

当一只蚂蚁寻找到食物，返回蚁巢呼叫群体，为什么蚁群从洞穴出发搬运食物，总能找到一条蚁巢与食物之间的最优路径？

因为在自然界中，蚂蚁会分泌一种化学刺激物 —— 信息素（pheromone）；

蚂蚁在移动过程中，能够在其经过的路径上留下 信息素，且蚁群内能感知到这种物质的存在及其强度，并以此指导自己行走的方向，蚂蚁更倾向于 信息素浓度高 的方向移动；

在同等的时间内蚁群在搬运食物过程中，越短的路径上留下的 信息素 就越多多，则后续搬运中，最短路径的蚂蚁越来越多（如上图蚁群觅食的“双桥”实验）；

本文所说“最短路径”，并非一定是路程最短的路径，而是接近于全局最优的“最短路径”；

所以，在商旅问题（tsp）中，可以模拟蚂蚁在两两城市之间所留下信息素，来搜索最短路径，且最短路径是一个有向图（Directed Acyclic Graph，DAG）（或有向环图），如下图；

假设，蚁群从洞穴A点出发，到达食物F点，三条路径（A-C-E-D-F、A-B-D-F和A-B-C-E-D-F）均有相同数据量蚂蚁访问； 设：

• A-C-E-D-F路径长度为$L_1$、A-B-D-F路径长度为$L_2$和A-B-C-E-D-F路径长度为$L_3$；
• 三条路径访问蚂蚁数各为1，即 $n_{L_1}=n_{L_2}=n_{L_3}=1$；
• 初始化城市之间的信息素相同（如，初始化为1），那么每个节点被访问的概率是相同的（如，A点出发，B、C点被选择的概率均为0.5）；

那么，三条路径，三只蚂蚁访问后，每个节点留下的信息素如下：

• A-C有一只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_1}\times n_{L_1}=\dfrac{1}{20} \times 1 = 0.05$

• A-B有两只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_2}\times n_{L_2} +\dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3} =\dfrac{1}{25} \times 1 + \dfrac{1}{27} \times 1 = 0.077$

• B-C有一只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3}=\dfrac{1}{27} \times 1 = 0.037$

• B-D有一只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_2}\times n_{L_2}=\dfrac{1}{25} \times 1 = 0.04$

• C-E有两只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_1}\times n_{L_1} +\dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3} =\dfrac{1}{20} \times 1 + \dfrac{1}{27} \times 1 = 0.087$

• E-D有两只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_1}\times n_{L_1} +\dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3} =\dfrac{1}{20} \times 1 + \dfrac{1}{27} \times 1 = 0.087$

• D-F有三只蚂蚁访问，留下信息素为$\dfrac{1}{L_1}\times n_{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\times n_{L_2} + \dfrac{1}{L_3}\times n_{L_3} =\dfrac{1}{20} \times 1 + \dfrac{1}{25} \times 1 + \dfrac{1}{27} \times 1 = 0.127$

有了信息素，在下一个单位时间内，每一只蚂蚁访问的节点，可进行赌轮盘选择，如从A点出发，B、C点被选择的概率为：$\dfrac{0.077}{0.05+0.077}=0.61$、$\dfrac{0.05}{0.05+0.077}=0.39$，以此类推；

我们发现一个问题，最优路径是A-C-E-D-F，而A点出发，B点被选择的概率远大于C点被选择的概率，因此计算信息素时就要加入两个城市之间的距离信息 $\eta$ 和一些因子，如$\alpha$（信息素加权因子） 和 $\beta$（距离加权因子），一般设置 $\beta > \alpha$ 来降低B点被选择的概率与C点被选择的概率的概率差； 若$\beta >> \alpha$，则蚁群搜索容易陷入局部最优值，比如A-C节点长度从2增加到5，A-C-E-D-F总长度为23，仍为最短路径，此时从A点到B点，不但距离短，而且蚂蚁数还多，那么搜索的最优路径就可能是A-B-C-E-D-F； 此时，可能我们还有一个疑问，只要经过同一条路径（如，A-C-E-D-F）的蚂蚁，分母都是相同的，因为它们除以的是该路径的总长度 $L_k$，是不是可以只除以局部路径的长度（如，A-C路径的长度 $d_{A-C}$），答案是可以的； 因此，按照信息素留下的方式不同，可以得到不同的蚁群模型，同时蚂蚁访问两两城市之间留下的信息素计算尤其重要，将直接影响算法的寻优能力，下文将列出信息素的计算公式，最后给出不同蚁群模型寻优能力的总结；

接下来就是更新信息素，更新方式和凸优化相同，采用学习率的方式更新，只不过蚁群算法的学习率（$\rho$）设的比较大，一般设置为0.5，A-C初始化的信息素为1，第一个单位时间内该路径被蚂蚁访问过并留下信息素为0.05，那么A-C的信息素为：$(1-0.5) * 1 + 0.05 = 0.55$，A-B的信息素为：$(1-0.5) * 1 + 0.077 = 0.577$，以此类推；

至此，蚁群算法做了简略的数值讲解，接下来将对蚁群算法做出详细定义和实现；

对此做如下定义；

定义 TSP ：在给定 n 个城市中，从指定起点（一般情况下商旅问题存在固定起点）城市出发，访问依次每个城市一次（访问不重复不遗漏）；

• 设 C 是 n 个城市的集合，如下； $C={c_1, c_2, ..., c_n}$

• 城市 $c_i$ 与 城市 $c_j$ 之间的距离记 $d_{ij}$，距离可用欧式距离（Euclidean）计算得到，如下； $d_{ij} = \sqrt{(x_i-x_j)^2 + (y_i - y_j)^2}$

• 信息素（pheromone）状态转移概率计算方式如下； $$\rho_{ij}^k(t) = \begin{cases} \dfrac{[\tau_{ij}(t)]^\alpha\cdot [\eta_{ik}(t)]^\beta}{\sum\limits_{s \subset allowed_k}[\tau_{is}(t)]^\alpha\cdot [\eta_{is}(t)]^\beta} & \text{ 若 } j \in allowed_k \ 0 & \text{ 否则 } \end{cases}$$

  • $allowed_k$ 表示蚂蚁k下一步允许选择的城市；
  • $\alpha$ 为信息启发式因子（常量），表示轨迹的相对重要性；
  • $\beta$ 为期望启发式因子（常量），表示能见度的相对重要性；
  • $\eta_{ij}$ 启发函数（适应度评分函数），与距离成反比，一般性定义：$\eta_{ij} = \dfrac{1}{d_{ij}}$，$d_{ij}$表示两个城市之间的距离，因此 $[\eta_{ik}(t)]^\beta$ 是一个常量；

• $\tau$ 更新策略，如下； $$\begin{align*} \tau_{ij}(t+n) &= (1-\rho) \cdot \tau_{ij}(t) + \Delta\tau_{ij}(t) \ \Delta\tau_{ij}(t) &= \sum\limits_{k=1}^{m}\Delta\tau_{ij}^k(t) \end{align*}$$

  • $\rho$ 表示信息素挥发系数，$1-\rho$ 表示信息素残留因子，$\rho \subset [0, 1)$；

• $\Delta\tau_{ij}$ 表示第 k 只蚂蚁在本初循环留在路径 (i, j) 上的信息量，其中 $\Delta\tau_{ij}(0)=0$ （初始时刻）；

• $\Delta\tau_{ij}$ 更新策略，如下；

  • Ant-Cycle模型 $$\Delta\tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} \dfrac{Q}{L_k} & \text{ 若第k只蚂蚁在本次循环中经过(i,j) } \ 0 & \text{ 否则 } \end{cases}$$

  • Ant-Quantity模型 $$\Delta\tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} \dfrac{Q}{d_{ij}} & \text{ 若第k只蚂蚁在 t 和 t+1 之间经过(i,j) } \ 0 & \text{ 否则 } \end{cases}$$

  • Ant-Density模型

    $$\Delta\tau_{ij}^k(t) = \begin{cases} \dfrac{Q}{1} & \text{ 若第k只蚂蚁在 t 和 t+1 之间经过(i,j) } \ 0 & \text{ 否则 } \end{cases}$$

    • $Q$ 信息强度（常量）；
    • $L_k$ 表示第 k 只蚂蚁在本次循环中所走路径的总长度
    • $d_{ij}$ 表示 城市 i 到 城市 j 的距离；

1、tsp数据源主要来自于：TSPLIB；

2、Ant-Density模型由于分母是1，因此在实现中，忽略了该模型；

3、采用python的numpy实现；

$\Delta\tau_{ij}$ 更新策略基于Ant-Cycle模型，结果如下：

城市数	路径图	最优路径走势图
a280
ch130
ch150
rd400
pr299

$\Delta\tau_{ij}$ 更新策略基于Ant-Quantity模型，结果如下：

城市数	路径图	最优路径走势图
a280
ch130
ch150
rd400
pr299

Ant-Cycle模型和Ant-Quantity模型耗时统计

Ant-Cycle模型和Ant-Quantity模型路径长度统计

1. 在调参上，基本参考 蚁群算法原理及其应用¹；
2. 设置了早熟停止迭代，因此可能出现城市数与耗时不成正比的情况；
3. Ant-Cycle模型耗时比Ant-Quantity模型耗时短，但Ant-Quantity模型更容易陷入局部最优值，所以，更容易出发早熟停止迭代机制（本文未提供结果对比说明，感兴趣的同学，可以利用提供的源码自行验证）； Ant-Cycle模型信息素的更新是以整条路径 $L_k$ 为基础，路径中的某段路长短不影响其路径的信息素计算； Ant-Quantity模型信息素的更新是以路径中的某段路 $d_{ij}$ 为基础，整条路径长短不影响其路径的信息素计算； Ant-Cycle模型处理“病态问题”²（P113）比Ant-Quantity模型优，因为Ant-Cycle模型信息素的计算是不受路径中的某段路长短的影响，但现实中很少有这种奇怪性质的“病态问题”；
4. 算法实现是比较粗糙的，如最后评价函数应该是：模型寻优次数+寻优迭代步数+运行时间，因此关于细节方面，感兴趣的同学可详读下文提供的参考文献；

1. 蚁群算法在性能和局部寻优能力，远胜于遗传算法，上文提到，寻优30个候选城市耗时要求是3秒（同事使用Scala10个线程），而本人利用python实现的蚁群算法寻优90个候选城市耗时也不到3秒，但工业应用上使用遗传算法远高于蚁群算法（本人了解的），主要是因为遗传算法拥有超强的扩展性灵和活性强，使得其应用非常广泛：函数优化、组合优化、生产调度、自动控制、机器人学、图像处理、人工生命、遗传编程、机器学习等，就其路径规划根据染色体交叉方式不同得到不同启发式遗传算法：单点交叉、双点交叉、均匀交叉、匹配交叉、顺序交叉、循环交叉、贪婪式交叉、旋转交叉、混合蛙跳³、DPX⁴等等，数不胜数； 其中贪婪式交叉、旋转交叉、混合蛙跳、DPX本人均实现过，性能远不及蚁群算法，寻优能力与蚁群算法略差，而且遗传算法组合能力是非常强的，比较容易跳出局部最优值，因此个人认为寻优能力上启发式遗传算法略胜一筹（仍在研究中），但启发式遗传算法需要有非常强和广的相关知识，不易实现，这可能就是本人实现启发式遗传算法不如蚁群算法优的原因（ps，在路径规划专项任务下，还是蚁群算法简单好用，易于实现）；
2. 蚁群算法容易陷于局部最优值（下图），A、B、C均为局部最优值，假设B点为全局最优； 若蚁群算法根据信息素从O点到达A点时，可能是无法跳出局部最优，因为蚁群在t时刻游走的路线受t-1时刻信息素的限制，而t-1时刻游走的线路受t-2时刻信息素的限制等等，因此t时刻要想跳出局部最优值A点，很难通过调参解决，这也可以解析每一次蚁群算法跑出来的结果有差异，且根据路径图做前后对比的话，每次结果路径可能有明显差异，遗传算法也有类似情况（但比较稳定）； 第5点提到，启发式遗传算法比较容易跳出局部最优值，是因为启发式遗传算法中的适应度越高的染色体交叉属于局部搜索（即在A区域内搜索），适应度一般的染色体可能在鞍点或C点，其交叉可能就是全局搜索，关键就是如何设置适应度高的染色体交叉和适应度较高、一般染色体交叉，太过于随机，则会降低收敛速度，还有一个关键点就是在染色体交叉后如何保留种群的多样性，详看请看参考文献²； 启发式，根据优化目标调整算法或多算法组合，蚁群算法根据优化目标调整算法可能性不大，不可能把蚂蚁调整为会飞，那就是粒子群算法了，多算法组合是蚁群算法的一个优化方向，如模拟退火+蚁群算法、爬山算法+蚁群算法，模拟退火和爬山算法跳出局部最优值的好帮手，而且计算快，算法组合后，性能受影响小，笔者用类似的方法解决了背包问题+商旅问题；

参考文献：