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# # Table of Contents

# <p><div class="lev1 toc-item"><a href="#Oraux-CentraleSupélec-PSI---Juin-2017" data-toc-modified-id="Oraux-CentraleSupélec-PSI---Juin-2017-1"><span class="toc-item-num">1&nbsp;&nbsp;</span>Oraux CentraleSupélec PSI - Juin 2017</a></div><div class="lev2 toc-item"><a href="#Remarques-préliminaires" data-toc-modified-id="Remarques-préliminaires-11"><span class="toc-item-num">1.1&nbsp;&nbsp;</span>Remarques préliminaires</a></div><div class="lev2 toc-item"><a href="#Planche-158" data-toc-modified-id="Planche-158-12"><span class="toc-item-num">1.2&nbsp;&nbsp;</span>Planche 158</a></div><div class="lev2 toc-item"><a href="#Planche-162" data-toc-modified-id="Planche-162-13"><span class="toc-item-num">1.3&nbsp;&nbsp;</span>Planche 162</a></div><div class="lev2 toc-item"><a href="#Planche-170" data-toc-modified-id="Planche-170-14"><span class="toc-item-num">1.4&nbsp;&nbsp;</span>Planche 170</a></div><div class="lev1 toc-item"><a href="#À-voir-aussi" data-toc-modified-id="À-voir-aussi-2"><span class="toc-item-num">2&nbsp;&nbsp;</span>À voir aussi</a></div><div class="lev2 toc-item"><a href="#Les-oraux---(exercices-de-maths-avec-Python)" data-toc-modified-id="Les-oraux---(exercices-de-maths-avec-Python)-21"><span class="toc-item-num">2.1&nbsp;&nbsp;</span><a href="http://perso.crans.org/besson/infoMP/oraux/solutions/" target="_blank">Les oraux</a> <em>(exercices de maths avec Python)</em></a></div><div class="lev2 toc-item"><a href="#Fiches-de-révisions-pour-les-oraux" data-toc-modified-id="Fiches-de-révisions-pour-les-oraux-22"><span class="toc-item-num">2.2&nbsp;&nbsp;</span>Fiches de révisions <em>pour les oraux</em></a></div><div class="lev2 toc-item"><a href="#Quelques-exemples-de-sujets-d'oraux-corrigés" data-toc-modified-id="Quelques-exemples-de-sujets-d'oraux-corrigés-23"><span class="toc-item-num">2.3&nbsp;&nbsp;</span>Quelques exemples de sujets <em>d'oraux</em> corrigés</a></div><div class="lev2 toc-item"><a href="#D'autres-notebooks-?" data-toc-modified-id="D'autres-notebooks-?-24"><span class="toc-item-num">2.4&nbsp;&nbsp;</span>D'autres notebooks ?</a></div>

# # Oraux CentraleSupélec PSI - Juin 2017

#

# - Ce [notebook Jupyter](https://www.jupyter.org) est une proposition de correction, en [Python 3](https://www.python.org/), d'exercices d'annales de l'épreuve "maths-info" du [concours CentraleSupélec](http://www.concours-centrale-supelec.fr/), filière PSI.

# - Les exercices viennent de l'[Officiel de la Taupe](http://odlt.fr/), [2016](http://www.odlt.fr/Oraux_2016.pdf) (planches 157 à 173, page 23).

# - Ce document a été écrit par [Lilian Besson](http://perso.crans.org/besson/), et est disponible en ligne [sur mon site](http://perso.crans.org/besson/infoMP/Oraux_CentraleSupélec_PSI__Juin_2017.html).

# ## Remarques préliminaires

# - Les exercices sans Python ne sont pas traités.

# - Les exercices avec Python utilisent Python 3, [numpy](http://numpy.org), [matplotlib](http://matplotlib.org), [scipy](http://scipy.org) et [sympy](http://sympy.org), et essaient d'être résolus le plus simplement et le plus rapidement possible. L'efficacité (algorithmique, en terme de mémoire et de temps de calcul), n'est *pas* une priorité. La concision et simplicité de la solution proposée est prioritaire.

# - Les modules Python utilisés sont aux [versions suivantes](https://github.com/rasbt/watermark) :

# In[1]:

get_ipython().run_line_magic('load_ext', 'watermark')

get_ipython().run_line_magic('watermark', '-v -m -p scipy,numpy,matplotlib,sympy,seaborn -g')

# In[2]:

import numpy as np

import numpy.linalg as LA

import matplotlib as mpl # inutile

import matplotlib.pyplot as plt

import scipy as sc # pas très utile

# Pour avoir de belles figures :

# In[3]:

import seaborn as sns

sns.set(context="notebook", style="darkgrid", palette="hls", font="sans-serif", font_scale=1.4)

mpl.rcParams['figure.figsize'] = (19.80, 10.80)

# ----

# ## Planche 158

#

# On donne $f_n(t) = \frac{1 - \cos\left(\frac{t}{n}\right)}{t^2(1+t^2)}$.

#

# - Tracer avec Python les courbes de $f_n$ pour $n \in \{1, \dots, 10\}$, ainsi que la fonction constante $y = \frac{1}{2}$, sur $]0, \pi[$.

# In[4]:

def f(n, t):

return (1 - np.cos(t / n)) / (t**2 * (1 + t**2))

def y(t):

return 0.5 * np.ones_like(t)

eps = 1e-5

t = np.linspace(0 + eps, np.pi - eps, 1000)

plt.figure()

for n in range(1, 1 + 10):

plt.plot(t, f(n, t), label=r'$f_{%i}(t)$' % n)

plt.plot(t, y(t), label=r'$\frac{1}{2}$')

plt.legend()

plt.title("Courbe demandée")

plt.xlabel(r"$]0, \pi[$")

plt.show()

# $f_n(t)$ est bien sûr intégrable sur $[1, +\infty]$, mais c'est moins évident sur $]0, 1]$.

# La courbe précédente laisse suggérer qu'elle l'est, il faudrait le prouver.

#

# (un développement limité montre qu'en $0$, $f_n(t)$ est prolongeable par continuité en fait)

# - Calculer les $30$ premiers termes de la suite de terme général $u_n = \int_0^{+\infty} f_n(t) \mathrm{d}t$.

# In[6]:

from scipy.integrate import quad as integral

def u_n(n):

def f_n(t):

return f(n, t)

return integral(f_n, 0, np.inf)[0]

for n in range(1, 1 + 30):

print("- Pour n =", n, "\t u_n =", u_n(n))

# Le terme $u_n$ semble tendre vers $0$ pour $n\to +\infty$.

# On le prouverait avec le théorème de convergence dominée (à faire).

# Soit $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{1 - \cos(xt)}{t^2 (1+t^2)} \mathrm{d}t$.

#

# - L'intégrande est évidemment intégrable sur $[1,+\infty[$ par comparaison (et comme $t\mapsto \frac{1}{t^4}$ l'est).

# - Sur $]0,1]$, $1-\cos(xt) \sim_{x\to 0} \frac{(xt)^2}{2} $, donc l'intégrande est $\sim \frac{x^2}{2(1+t^2)}$ qui est bien intégrable (la constante $\frac{x^2}{2}$ sort de l'intégrale).

# Donc $F$ est bien définie sur $R_+^*$.

#

# Elle est continue par application directe du théorème de continuité sous le signe intégrale.

#

# Elle est prolongeable par continuité en $0$, par $F(0) := 0$ grâce à l'observation précédente : $F(x) \sim \frac{x^2}{2} \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{d}t \to 0$ quand $x\to 0$.

# In[7]:

def F(x):

def f_inf(t):

return (1 - np.cos(x * t)) / (t**2 * (1 + t**2))

return integral(f_inf, 0, np.inf)[0]

eps = 1e-4

x = np.linspace(0 + eps, 10, 1000)

plt.figure()

plt.plot(x, np.vectorize(F)(x))

plt.title("$F(x)$ pour $x = 0 .. 10$")

plt.show()

# On constate sur la figure que $F$ est bien prolongeable par continuité en $0$.

#

# On montrerait aussi que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ facilement, par application directe du théorème de dérivation généralisée sous le signe intégral.

# ----

# ## Planche 162

#

# Soit $(P_n)_{n\geq 0}$ une suite de polynômes définis par $P_0 = 1$, $P_1 = 2X$ et $P_{n+1} = 2 X P_n - P_{n-1}$. Calculons $P_2,\dots,P_8$.

#

# On pourrait tout faire avec des listes gérées manuellement, mais c'est assez compliqué.

#

# Il vaut mieux aller vite, en utilisant le module [numpy.polynomial](https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.polynomials.classes.html).

# In[8]:

# Ce morceau est juste là pour avoir un joli rendu

def Polynomial_to_LaTeX(p):

return "$" + res[:-3] + "$"

def setup_prrint():

'Polynomial', Polynomial_to_LaTeX)

setup_prrint()

# Je recommande d'importer `numpy.polynomial.Polynomial` et de l'appeller `P`.

# Définir directement le monôme $X$ comme `P([0, 1])`, donné par la liste de ses coefficients $[a_k]_{0 \leq k \leq \delta(X)} = [0, 1]$.

# In[9]:

from numpy.polynomial import Polynomial as P

X = P([0, 1])

X

# Ensuite, on peut rapidement écrire une fonction, qui donne $P_n$ pour un $n \geq 0$.

# Pas besoin d'être malin, on recalcule tout dans la fonction.

#

# - `Pnm1` signifie $P_{n - 1}$

# - `Pnext` signifie $P_{n + 1}$

# In[10]:

def P_n(n):

return Pnm1

for n in range(0, 1 + 8):

print("Pour n =", n, "P_n =")

P_n(n)

# Premières observations :

# - Le dégré de $P_n$ est $n$,

# - Son coefficient dominant est $2^{n-1}$ si $n>0$,

# - Sa parité est impaire si $n$ est pair, paire si $n$ est impair.

#

# Ces trois points se montrent assez rapidement par récurrence simple, à partir de $P_0,P_1$ et la relation de récurrence définissant $P_n$.

# On vérifie mathématiquement que $\langle P, Q \rangle := \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} P(t) Q(t) \mathrm{d}t$ est un produit scalaire pour les polynômes réels.

# (il est évidemment bien défini puisque la racine carrée existe, et que les fonctions intégrées sont de continues sur $[-1,1]$, symétrique, positif si $P=Q$, et il est défini parce que $P^2(t) \geq 0$).

#

# Calculons $\langle P_i, P_j \rangle$ pour $0 \leq i,j \leq 8$.

# L'intégration est faite *numériquement*, avec [`scipy.integrate.quad`](https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.quad.html).

# In[11]:

from scipy.integrate import quad

def produit_scalaire(P, Q):

def f(t):

return np.sqrt(1 - t**2) * P(t) * Q(t)

return (2 / np.pi) * quad(f, -1, 1)[0]

# In[12]:

# on calcule qu'une seule fois

P_n_s = [P_n(n) for n in range(0, 1 + 8)]

for i in range(1, 1 + 8):

for j in range(i, 1 + 8):

Pi, Pj = P_n_s[i], P_n_s[j]

ps = np.round(produit_scalaire(Pi, Pj), 8)

print("< P_{}, P_{} > = {:.3g}".format(i, j, ps))

# In[15]:

produits_scalaires = np.zeros((8, 8))

for i in range(1, 1 + 8):

for j in range(i, 1 + 8):

Pi, Pj = P_n_s[i], P_n_s[j]

produits_scalaires[i - 1, j - 1] = np.round(produit_scalaire(Pi, Pj), 8)

produits_scalaires.astype(int)

# La famille $(P_i)_{0 \leq i \leq 8}\;$ est *orthogonale*.

# (les `-0` sont des `0`, la différence vient des erreurs d'arrondis).

# Soit $\Phi(P) = 3XP' - (1-X^2)P''$ (erreur dans l'énoncé, le deuxième terme est évidemment $P''$ et non $P'$).

# Elle conserve (ou diminue) le degré de $P$.

# In[16]:

def Phi(P):

return 3 * X * P.deriv() - (1 - X**2) * P.deriv(2)

# On calcule sa matrice de passage, dans la base $(P_i)_{1\leq i \leq 8}$ :

# In[17]:

# on calcule qu'une seule fois

P_n_s = [P_n(n) for n in range(0, 1 + 8)]

matrice_Phi = [

]

matrice_Phi = np.array(matrice_Phi, dtype=int)

# In[18]:

matrice_Phi.shape

matrice_Phi

# Elle est diagonale ! Et trivialement inversible !

# In[19]:

from scipy.linalg import det

det(matrice_Phi)

# Cette matrice est inversible, donc dans la base $(P_i)_{1\leq i \leq 8}$, l'application linéaire $\Phi$ est une bijection.

#

# On peut même dire plus : en renormalisant les $P_i$, on peut faire de $\Phi$ l'identité...

# In[30]:

P_n_s_normalises = np.asarray(P_n_s[1:]) / np.sqrt(matrice_Phi.diagonal())

matrice_Phi_normalise = [

]

matrice_Phi_normalise = np.array(matrice_Phi_normalise)

matrice_Phi_normalise.astype(int)

# On peut utiliser ce fait pour montrer, par deux intégrations par parties, le résultat annoncé sur l'orthogonalité de la famille $(P_i)_{1\leq i \leq 8}\;$.

# ----

# ## Planche 170

#

# On étudie le comportement d'une particule évoluant sur 4 états, avec certaines probabilités :

#

# 

# On fixe la constante $p = \frac12$ dès maintenant, on définit la matrice de transition $A$, telle que définie un peu après dans l'exercice.

#

# Les états sont représentés par `[0, 1, 2, 3]` plutôt que $A_0, A_1, A_2, A_3$.

# In[35]:

p = 0.5

A = np.array([

])

etats = [0, 1, 2, 3]

# In[36]:

import numpy.random as rd

# Une transition se fait en choisissant un état $x_{n+1}$ parmi $\{0, 1, 2, 3\}$, avec probabilité $\mathbb{P}(x_{n+1} = k) = A_{x_n, k}$.

# La fonction [`numpy.random.choice`](https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.random.choice.html) fait ça directement.

# In[37]:

def une_transition(xn):

return rd.choice(etats, p = A[xn])

# In[44]:

une_transition(0)

une_transition(1)

une_transition(2)

une_transition(3)

# On peut écrire la fonction à la main, comme :

# In[45]:

def une_transition_longue(xn):

return 3

# In[46]:

une_transition_longue(0)

une_transition_longue(1)

une_transition_longue(2)

une_transition_longue(3)

# Faire plusieurs transitions se fait juste en appliquant la même fonction $n$ fois.

# In[50]:

def n_transitions(n, x0):

return x

# In[51]:

n_transitions(10, 0)

n_transitions(10, 1)

n_transitions(10, 2)

n_transitions(10, 3)

# Faisons $N=1000$ répétitions de cette expérience, à l'horizon disons $n=100$.

# In[52]:

n = 100

N = 1000

def histogramme(n, N, x0):

plt.show()

# In[54]:

histogramme(n, N, 0)

histogramme(n, N, 1)

histogramme(n, N, 2)

histogramme(n, N, 3)

# Mathématiquement, sur papier on calcule le polynôme caractéristique de $A$, et on vérifie qu'il est scindé ssi $p \neq 0, 1$ (mais pas à racine simple).

# Pour diagonaliser, on utile le module `numpy.linalg`, et la fonction [`numpy.linalg.eig`](https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.linalg.eig.html).

# In[56]:

from numpy import linalg as LA

# In[87]:

A = A.T

A

# In[88]:

spectre, matricePassage = LA.eig(A)

spectre

matricePassage

# Ici, on vérifie que le spectre contient deux fois la valeur propre $1$, qui vient des deux puits $A_0,A_3$, et deux valeurs symétriques.

#

# On peut vérifier que $A = P \Lambda P^{-1}$

# In[89]:

Lambda = np.diag(spectre)

matricePassageinv = LA.inv(matricePassage)

# avec Python >= 3.6

matricePassage @ Lambda @ matricePassageinv

# avant 3.6

matricePassage.dot(Lambda.dot(matricePassageinv))

# Sans erreur d'arrondis, ça donne :

# In[90]:

np.round(matricePassage @ Lambda @ matricePassageinv, 3)

np.round(matricePassage.dot(Lambda.dot(matricePassageinv)), 3)

np.all(np.round(matricePassage @ Lambda @ matricePassageinv, 3) == A)

# On peut ensuite calculer $\lim_{n\to\infty} X_n$ en calculant

# $P \Lambda' P^{-1} X_0$ si $\Lambda' := \lim_{n\to\infty} \Lambda^n = \mathrm{Diag}(\lim_{n\to\infty} \lambda_i^n)$ qui existe bien puisque $\mathrm{Sp}(A) = \{1, \pm\sqrt{p(1-p)}\} \subset [-1,1]$.

# In[91]:

def limite_inf(t):

return np.inf

LambdaInf = np.diag([limite_inf(lmbda) for lmbda in spectre])

LambdaInf

# In[93]:

for x0 in etats:

X0 = np.zeros(len(etats))

X0[x0] = 1

print("Pour X0 =", X0)

Xinf = (matricePassage @ LambdaInf @ matricePassageinv) @ X0

print(" => limite Xn pour n -> oo =", Xinf)

# Ça correspond exactement aux histogrammes obtenus plus haut.

# Peu importe l'état initial, la particule finira dans un des deux puits.

# (C'est ce qu'on appelle des états absorbants)

# ----

# # À voir aussi

#

# ## [Les oraux](http://perso.crans.org/besson/infoMP/oraux/solutions/) *(exercices de maths avec Python)*

#

# Se préparer aux oraux de ["maths avec Python" (maths 2)](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/#oMat2) du concours Centrale Supélec peut être utile.

#

# Après les écrits et la fin de l'année, pour ceux qui seront admissibles à Centrale-Supélec, ils vous restera <b>les oraux</b> (le concours Centrale-Supélec a un <a title="Quelques exemples d'exercices sur le site du concours Centrale-Supélec" href="http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/#oMat2">oral d'informatique</a>, et un peu d'algorithmique et de Python peuvent en théorie être demandés à chaque oral de maths et de SI).

#

# Je vous invite à lire [cette page avec attention](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/#oMat2), et à jeter un œil aux documents mis à disposition :

#

# ## Fiches de révisions *pour les oraux*

#

# 1. [Calcul matriciel](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/Python-matrices.pdf), avec [numpy](https://docs.scipy.org/doc/numpy/) et [numpy.linalg](http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.linalg.html),

# 2. [Réalisation de tracés](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/Python-plot.pdf), avec [matplotlib](http://matplotlib.org/users/beginner.html),

# 3. [Analyse numérique](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/Python-AN.pdf), avec [numpy](https://docs.scipy.org/doc/numpy/) et [scipy](http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/index.html). Voir par exemple [scipy.integrate](http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/integrate.html) avec les fonctions [scipy.integrate.quad](http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.quad.html) (intégrale numérique) et [scipy.integrate.odeint](http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.odeint.html) (résolution numérique d'une équation différentielle),

# 4. [Polynômes](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/Python-polynomes.pdf) : avec [numpy.polynomials](https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.polynomials.package.html), [ce tutoriel peut aider](https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.polynomials.classes.html),

# 5. [Probabilités](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/Python-random.pdf), avec [numpy](https://docs.scipy.org/doc/numpy/) et [random](https://docs.python.org/3/library/random.html).

#

# Pour réviser : voir [ce tutoriel Matplotlib (en anglais)](http://www.labri.fr/perso/nrougier/teaching/matplotlib/), [ce tutoriel Numpy (en anglais)](http://www.labri.fr/perso/nrougier/teaching/numpy/numpy.html).

# Ainsi que tous les [TP](http://perso.crans.org/besson/infoMP/TPs/solutions/), [TD](http://perso.crans.org/besson/infoMP/TDs/solutions/) et [DS](http://perso.crans.org/besson/infoMP/DSs/solutions/) en Python que j'ai donné et corrigé au Lycée Lakanal (Sceaux, 92) en 2015-2016 !

#

# ## Quelques exemples de sujets *d'oraux* corrigés

# > Ces 5 sujets sont corrigés, et nous les avons tous traité en classe durant les deux TP de révisions pour les oraux (10 et 11 juin).

#

# - PC : [sujet #1](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/PC-Mat2-2015-27.pdf) ([correction PC #1](http://perso.crans.org/besson/infoMP/oraux/solutions/PC_Mat2_2015_27.html)), [sujet #2](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/PC-Mat2-2015-28.pdf) ([correction PC #2](http://perso.crans.org/besson/infoMP/oraux/solutions/PC_Mat2_2015_28.html)).

# - PSI : [sujet #1](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/PSI-Mat2-2015-24.pdf) ([correction PSI #1](http://perso.crans.org/besson/infoMP/oraux/solutions/PSI_Mat2_2015_24.html)), [sujet #2](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/PSI-Mat2-2015-25.pdf) ([correction PSI #2](http://perso.crans.org/besson/infoMP/oraux/solutions/PSI_Mat2_2015_25.html)), [sujet #3](http://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/MultiY/C2015/PSI-Mat2-2015-26.pdf) ([correction PSI #3](http://perso.crans.org/besson/infoMP/oraux/solutions/PSI_Mat2_2015_26.html)).

# - MP : pas de sujet mis à disposition, mais le programme est le même que pour les PC et PSI (pour cette épreuve).

# ----

# ## D'autres notebooks ?

#

# > Ce document est distribué [sous licence libre (MIT)](https://lbesson.mit-license.org/), comme [les autres notebooks](https://GitHub.com/Naereen/notebooks/) que j'ai écrit depuis 2015.