def Newton_algoritmo(F, J, x, eps):
"""
Resuelve un sistema no linear Rn-Rn F(x)=0, ambos F y J deben ser funciones de x
x es el valor de las coordenadas iniciales, y sigue hasta que ||F|| < eps que es una tolerancia
"""
F_value = F(x)
#display(Latex('$$ F(x) = '+ latex(simplify(F_value)) + '$$'))
F_norm = np.linalg.norm(F_value, ord=2) # l2 norm of vector
contador_iteraciones = 0
while abs(F_norm) > eps and contador_iteraciones < 100:
delta = np.linalg.solve(J(x), -F_value)
# display(Latex('$$ F(x) = '+ latex(simplify(F_value)) + '$$'))
# display(Latex('$$ J(x) = '+ latex(simplify(J(x))) + '$$'))
# display(Latex('$$ SEL = '+ latex(simplify(delta)) + '$$'))
x = x + delta
display(Latex('$$ Iteracion = '+ latex(simplify(contador_iteraciones)) + '$$'))
display(Latex('$$ SolucionSistema = '+ latex(simplify(x)) + '$$'))
F_value = F(x) #test
F_norm = np.linalg.norm(F_value, ord=2)
contador_iteraciones += 1
# Hasta que una solucion es encontrada o muchas iteraciones
if abs(F_norm) > eps:
contador_iteraciones = -1
return x, contador_iteraciones
def Ex4Chapitre2_11(A1_inv, A2_inv):
"""Provides the correction to exercise 4 of notebook 2_11
:param A1_inv: inverse of matrix A1
:type A1_inv: list[list]
:param A2_inv: inverse of matrix A2
:type A2_inv: list[list]
"""
A1 = np.array([[1, 2, 0, 1, 0], [0, -2, 1, -1, 0], [-2, -1, 1, 0, 1],
[0, 0, 0, 2, 0], [0, 0, 0, 0, 1]])
A1_inv_true = np.linalg.inv(A1)
A1_inv = np.array(A1_inv)
A2_inv_true = [[]]
A_inv_bool = np.zeros(3).astype(bool)
A_inv_bool[0] = A1_inv.shape == A1_inv_true.shape and np.linalg.norm(
A1_inv - A1_inv_true) < 1e-6
A_inv_bool[1] = A2_inv == A2_inv_true
correct = set(np.where(A_inv_bool)[0] + 1)
wrong = set(np.arange(1, 3)) - correct
if wrong:
display(Latex("C'est faux."))
if correct:
display(Latex(f"Corrects: {correct}"))
else:
display((Latex("Corrects: {}")))
display(Latex(f"Manqué: {wrong}"))
else:
display(Latex("C'est correct."))
return
def question7_2c(reponse):
c = sp.Matrix([[4, 6, -3], [-4, 8, 12], [-4, 5, -1]])
if np.abs(reponse - sp.det(c)) != 0:
display(
"Dans ce cas, la deuxième rangée a été multiplié par 4 et la troisième par -1"
)
display(
Latex(
"$ Soit: 4 \\times R_2 \\rightarrow R_2, -1 \\times R_3 \\rightarrow R_3 $"
))
display("Le déterminant est donc:")
display(
Latex(
'$ det|c| = (-1) \cdot (4) \cdot det|A| = -4 \cdot 155 = - 620 $'
))
button = widgets.Button(description='Solution', disabled=False)
box = HBox(children=[button])
out = widgets.Output()
@out.capture()
def solution(e):
out.clear_output()
Determinant_3x3(c, step_by_step=True)
button.on_click(solution)
display(box)
display(out)
else:
display("Bravo! Vous avez trouvé la réponse")
def ch8_8_ex_1(A, prop_answer):
"""
Check if a matrix is diagonalisable.
@param A: sympy square matrix
@param prop_answer: boolean, answer given by the student
@return:
"""
if not A.is_Matrix:
raise ValueError("A should be a sympy Matrix.")
n = A.shape[0]
if n != A.shape[1]:
raise ValueError('A should be a square matrix.')
eig = A.eigenvects()
dim_geom = 0
for x in eig:
dim_geom += len(x[2])
answer = dim_geom == n
if answer:
display(Latex("Oui la matrice $A = " + latexp(A) + "$ est diagonalisable."))
else:
display(Latex("Non la matrice $A = " + latexp(A) + "$ n'est pas diagonalisable."))
if answer == prop_answer:
display(Latex("Votre réponse est correcte !"))
else:
display(Latex("Votre réponse est incorrecte."))
def show_limit_analysis(f, r):
display(Markdown("We have set: "))
display(Latex("$f(x)= " + sp.latex(f(x)) + "$"))
display(Latex("$r = " + sp.latex(r) + "$"))
display(Markdown("<br>"))
display(Markdown("**Problem**: *Estimate* "))
display(Latex("$\large \lim_{x \\to r} f(x)$"))
display(Markdown("---"))
display(
Markdown(
"We generate a table of values of f around (but *not exactly at*) r"
))
display(
show_table(
f, [r - 0.1, r - 0.01, r - 0.001, r + 0.001, r + 0.01, r + 0.1]))
display(Markdown("<br>"))
display(
Markdown(
"What do the values suggest a reasonable estimate for the limit would be?"
))
def question7_2e(reponse):
e = sp.Matrix([[-1, 2, 3], [4, 6, -3], [0, -11, 4]])
if np.abs(reponse - sp.det(e)) != 0:
display(
"Dans ce cas, deux fois la première rangée a été ajouté à la troisième rangée."
)
display("Aussi les premières deux rangées sont échangées.")
display(
Latex(
"$ Soit: 2 \\times R_1 + R_3 \\rightarrow R_3, R_1 \\leftrightarrow R_2 $"
))
display("Le déterminant est donc:")
display(
Latex("$ det|e| = (-1) \cdot det|A| = (-1) \cdot 155 = - 155 $"))
button = widgets.Button(description='Solution', disabled=False)
box = HBox(children=[button])
out = widgets.Output()
@out.capture()
def solution(k):
out.clear_output()
Determinant_3x3(e, step_by_step=True)
button.on_click(solution)
display(box)
display(out)
else:
display("Bravo! Vous avez trouvé la réponse.")
def printEquMatrices(*args):
"""Method which prints the list of input matrices.
.. note:: if two inputs are passed, they represent the list of coefficient matrices A and the list of rhs b
respectively; as a result the augmented matrices A|B are plotted. Otherwise, if the input is unique, just the
matrices A are plotted
:param args: input arguments; they could be either a list of matrices and a list of vectors or
a single list of matrices
:type args: list
"""
# list of matrices is M=[M1, M2, ..., Mn] where Mi=(Mi|b)
if len(args) == 2:
listOfMatrices = args[0]
listOfRhS = args[1]
texEqu = '$' + texMatrix(listOfMatrices[0], listOfRhS[0])
for i in range(1, len(listOfMatrices)):
texEqu = texEqu + '\\quad \\sim \\quad' + texMatrix(
listOfMatrices[i], listOfRhS[i])
texEqu = texEqu + '$'
display(Latex(texEqu))
else:
listOfMatrices = args[0]
texEqu = '$' + texMatrix(listOfMatrices[0])
for i in range(1, len(listOfMatrices)):
texEqu = texEqu + '\\quad \\sim \\quad' + texMatrix(
listOfMatrices[i])
texEqu = texEqu + '$'
display(Latex(texEqu))
return
def question7_2f(reponse):
f = sp.Matrix([[4, -5, 8], [6, 10, 1], [-3, 15, -2]])
if np.abs(reponse - sp.det(f)) != 0:
display("Dans ce cas, la deuxième rangée a été multiplié par cinq.")
display("Après ça, c''est la transposée de la matrice.")
display(
Latex(
"$ Soit: 5 \\times R_2 \\rightarrow R_2, \: et \: transposée $"
))
display("Le déterminant est donc:")
display(
Latex(
"$ det|f| = 5 \cdot det|A|^T = 5 \cdot det|A| = 5 \cdot 155 = 755 $"
))
button = widgets.Button(description='Solution', disabled=False)
box = HBox(children=[button])
out = widgets.Output()
@out.capture()
def solution(e):
out.clear_output()
Determinant_3x3(f, step_by_step=True)
button.on_click(solution)
display(box)
display(out)
else:
display("Bravo! Vous avez trouvé la réponse.")
def correction(a, b, c, d):
if c and not a and not b and not d:
display(Latex("C'est correct! La matrice C vaut:"))
C = [[-6, 64], [-32, -22], [28, -10], [-2, 6]]
printA(C)
else:
display(Latex("C'est faux."))
def correction(a, b, c, d):
if c and not a and not b and not d:
A = [[14], [6]]
texA = '$' + texMatrix(A) + '$'
display(
Latex(r"C'est correct! Le produit $ AB$ vaut: $AB$ = " + texA))
else:
display(Latex("C'est faux."))
def correction(a_1, a_2, a_3):
if not a_1 and a_2 and not a_3:
display(
Latex(
"C'est correct! Plus précisément, la matrice $A_1$ n'admet pas de décomposition LU car elle n'est pas inversible, la matrice $A_2$ admet décomposition LU et la matrice $A_3$ n'admet pas décomposition LU car elle ne peut pas être réduite sans échanger deux lignes pendant la méthode d'élimination de Gauss"
))
else:
display(Latex("C'est faux."))
def lin_or_non2(val):
if val == "Linear":
display(Latex("Try Again!"))
elif val == "Non-Linear":
display(Latex("Right on!"))
display(
Latex(
"Because $x$ is raised to the power of 2, this function is not linear."
))
def wage(val):
if val == "W (Wage)":
display(Latex("Correct!"))
display(
Latex(
"The amount of money you make depends on your wage, and your wage is free to change. It is therefore the independent variable."
))
elif val == "M (Money Made)":
display(Latex("Try Again!"))
def lin_or_non4(val):
if val == "Linear":
display(Latex("Good job!"))
display(
Latex("This graph is a straight line, and is therefore linear."))
display(Latex("The equation for this function is:"))
display(Math("y = -x - 6"))
elif val == "Non-Linear":
display(Latex("Try Again!"))
def lin_or_non1(val):
if val == "Linear":
display(Latex("Correct!"))
display(
Latex(
"This equation has no exponent on either variable, and is therefore linear."
))
elif val == "Non-Linear":
display(Latex("Try Again!"))
def correction(a, b, c, d):
if d and not a and not c and not b:
A = np.array(([-1, 0, 0], [3, 1 / 2, 0], [1, 2, 1]))
res = np.transpose(np.linalg.inv(A))
texAres = '$' + texMatrix(res) + '$'
display(
Latex("C'est correct! $(A^T)^{-1}$ est donnée par: $\quad$" +
texAres))
else:
display(Latex("C'est faux."))
def correction(a, b, c):
if a and not c and not b:
display(
Latex(
"C'est correct! Pour $\lambda=-3$ La matrice échelonnée réduite est:"
))
A = [[1, 0, -2, 3], [0, 1, -1, 7]]
printA(A)
else:
display(Latex("C'est faux."))
def grid(items_and_weights):
print(Latex("\n\\begin{Row}%\n"))
for val, width in items_and_weights:
print(Latex("\n\\begin{Cell}{" + str(width) + "}\n"))
if not isinstance(val, str):
print(Latex("\\vspace*{-.4cm}\n"))
print(val)
print(Latex("\n\n\\end{Cell}\n"))
print(Latex("\n\\end{Row}\n"))
def classify(self,trainData,labels,features):
labels =list(labels)
probability_y={}#概率集合
Latex(''' $p(A)$ ：事件A发生的概率 ''')
#每一个标签数量除以总数
for label in labels:
probability_y[label] = labels.count(label)/float(len(labels))
Latex(''' $p(A\cap\;B)$ ：事件A 和事件B同时发生的概率 ''')
#求label与feature同时发生的概率
probability_xy={}
for y in probability_y.keys():
#labels 放入枚举函数中，形成（序号，值）这一数据结构
y_index = [i for i,label in enumerate(labels) if label == y]
#y_index 对应标签的一行值 的 所有位置
for j in range(len(features)):
x_index = [i for i,feature in enumerate(trainData[:,j]) if feature == features[j]]
#set 是集合，& 交集，| 并集，- 差集 ，in 属于,not in 不属于
#求 x_index 和 y_index的 两个集合的交集。也就是同时发生的次数
xy_count = len(set(x_index)&set(y_index))
probaility_key = str(features[j])+'*'+str(y)
print(probaility_key)
probability_xy[probaility_key] = xy_count/float(len(labels))
#条件概率
Latex(''' $p(A|B)$ ：表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率 ''')
#P[X1/Y] = P[X1Y]/P[Y]
Latex(''' $P[X|Y] = P[X\cap\;Y]/P[Y] $''')
probability={}
for y in probability_y.keys():
for x in features:
pkey = str(x)+'|'+str(y)
probability[pkey] = probability_xy[str(x)+'*'+str(y)]/float(probability_y[y])
#求各个类别的概率
Class_each={}
for y in probability_y:
Class_each[y]=probability_y[y]
for x in features:
print(Class_each[y])
print(probability[str(x)+'|'+str(y)])
Class_each[y] =Class_each[y]*probability[str(x)+'|'+str(y)]
features_label =max(Class_each,key=Class_each.get)
return features_label
def polezero_gen4_demo1_plot(zeta1=0.5, omega01=10, kind1=kinds[0],
zeta2=0.5, omega02=20, kind2=kinds[0],
mode=response_modes[0]):
t = np.linspace(-0.1, 3, 201)
t2 = np.linspace(0, 3, 201)
w = np.logspace(-1, 3, 201)
s = 1j * w
if kind1 == 'Low-pass':
obj1 = Lowpass2(zeta1, omega01)
elif kind1 == 'Band-pass':
obj1 = Bandpass2(zeta1, omega01)
elif kind1 == 'High-pass':
obj1 = Highpass2(zeta1, omega01)
elif kind1 == 'Band-stop':
obj1 = Bandstop2(zeta1, omega01)
if kind2 == 'Low-pass':
obj2 = Lowpass2(zeta2, omega02)
elif kind2 == 'Band-pass':
obj2 = Bandpass2(zeta2, omega02)
elif kind2 == 'High-pass':
obj2 = Highpass2(zeta2, omega02)
elif kind2 == 'Band-stop':
obj2 = Bandstop2(zeta2, omega02)
if mode == 'Step response':
h1 = obj1.step_response(t)
h2 = obj2.step_response(t2)
h = np.convolve(h1, h2)[0:len(t)] * (t[1] - t[0])
ylim = (-0.5, 2.1)
elif mode == 'Impulse response':
h1 = obj1.impulse_response(t)
h2 = obj2.impulse_response(t2)
if h1 is None:
return Latex('Cannot compute Dirac delta for %s' % mode)
if h2 is None:
return Latex('Cannot compute Dirac delta for %s' % mode)
h = np.convolve(h1, h2)[0:len(t)] * (t[1] - t[0])
ylim = (-5, 10)
elif mode == 'Frequency response':
H1 = obj1.frequency_response(s)
H2 = obj2.frequency_response(s)
h = H1 * H2
ylim = (-40, 20)
t = w
else:
raise ValueError('Unknown mode=%s', mode)
poles = np.array(obj1.poles + obj2.poles)
zeros = np.array(obj1.zeros + obj2.zeros)
axes = polezero_plot_with_time(t, h, poles, zeros, ylim=ylim, mode=mode)
def question7_2d(reponse):
d = sp.Matrix([[4, 6, -3], [-1, 2, 3], [-8, 10, -2]])
if np.abs(reponse - sp.det(d)) != 0:
display("Dans ce cas, la troisième rangée est multipliée par -2 ")
display(Latex("$ Soit: -2 \\times R_3 \\rightarrow R_3 $"))
display("Le déterminant est donc:")
display(Latex("$ det|d| = (-2) \cdot det|A| = -2 \cdot 155 = - 310 $"))
Determinant_3x3(d, step_by_step=True)
else:
display("Bravo! Vous avez trouvé la réponse.")
def lin_or_non3(val):
if val == "Linear":
display(Latex("Try Again!"))
elif val == "Non-Linear":
display(Latex("Way to go!"))
display(
Latex(
"This graph does not resemble a straight line, therefore, it is not linear."
))
display(Latex("The equation for this function is:"))
display(Math("y = x^2"))
def correction(a, b, c):
if a and not b and not c:
A1 = np.array([[2, 0, 1], [0, 6, 4], [2, 2, 1]])
A1_inv = np.linalg.inv(A1)
texA1inv = '$' + texMatrix(A1_inv) + '$'
display(
Latex(
"C'est correct! $A_1$ est la seule matrice inversible et son inverse est: $\quad A_1^{-1} = $"
+ texA1inv))
else:
display(Latex("C'est faux."))
def solution(e):
out.clear_output()
display(Latex(line0))
display(Latex(line1))
display(Latex(line2))
display(Latex(line3))
display(Latex(line4))
display(Latex(line5))
display(Latex(line6))
display(Latex(line7))
display(Latex(line8))
display(Latex(line9))
def correction(a, b, c, d, e, f, g, h):
if c and e and g and h and not a and not b and not d and not f:
display(
Latex(
r"C'est correct! En effet $A$ n'est pas inversible si $\alpha = \dfrac{8}{\beta}$ (résultat "
r"obtenu en divisant par élément les lignes de A les unes par les autres et en imposant que "
r"les résultats des divisions soient les mêmes). Si $\alpha = -2$ et $\beta = -4$, "
r"alors le système admet une infinité de solutions, puisque les rapports obtenus par la "
r"division est $-\dfrac{1}{2}$, qui est égal au rapport entre les éléments du vecteur de droite "
r"$b$."))
else:
display(Latex("C'est faux."))
def correction(a, b, c, d, e, f, g, h):
if not a and not b and not c and d and not e and not f and g and not h:
display(
Latex(
"C'est correct. En effet, $A$ n'est clairement pas inversible, car la dernière ligne est "
"égale à la seconde moins la première, et il en va de même pour le vecteur de droite $b$. "
"Par conséquent, la dernière ligne de $U$ est entièrement composée de zéros (réponse 7) et la "
"dernière entrée du vecteur de droite $b$, après l'application de la méthode d'élimination de "
"Gauss, est également égale à 0. Ainsi, la dernière équation du système linéaire résultant a "
"tous les coefficients égaux à 0, ce qui donne lieu à une infinité de solutions "
"(réponse 4)."))
else:
display(Latex("C'est faux."))
def correction(a, b, c, d, e, f, g, h):
if a and not b and not c and d and not e and not f and g and h:
display(
Latex(
"C'est correct. En effet, l'ensemble des solutions peut être écrit comme "
"$x = [1-4a, 2.5a, 3a-1, a]$. On en déduit que la deuxième entrée est 2.5 fois la 4ème (réponse 4),"
" que la somme de toutes les entrée sauf la 2ème vaut 0 (réponse 7) "
"et que $\hat{x} = [1,0,-1,0]$ est une solution, c'est le cas $a=0$ (réponse 8). "
"Alors, si L est calculée de manière à obtenir des 1 sur sa diagonale, on peut déduire que "
"le vecteur $\vec{y}$ qui résout $L\vec{y}=\vec{b}$ n'est fait que de 1."
))
else:
display(Latex("C'est faux."))
def Ex2bChapitre2_5(inv):
"""Provides the correction to exercise 2b of notebook 2_5
:param inv: inverse of the matrix to be calculated
:type inv: list[list]
"""
if inv == [[0, 0, 1 / 5], [4, 1, 0], [1, 0, 0]]:
display(Latex("C'est correct!"))
else:
display(Latex("C'est faux."))
return
def correction(res):
if 'a)' in res and 'c)' in res :
print("C'est correct!")
print('Pour le système a), on peut par exemple faire\n')
sola= '$\\left(\\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3\\\\ -1& 4 & -1 \\end{array}\\right) \\stackrel{E_{12}}{\sim}\\left(\\begin{array}{cc|c} -1& 4 & -1\\\\ 1 & 1 & 3 \\end{array}\\right)\\stackrel{E_{1}(-2)}{\sim}\\left(\\begin{array}{cc|c} 2& -8 & 2\\\\ 1 & 1 & 3 \\end{array}\\right)$'
display(Latex(sola))
print("Pour le système b), les systèmes ne sont pas équivalents. Comme solution on peut exprimer x1 en fonction de x2 et on obtient deux droites (parallèles) de pente 1 mais de hauteurs -2 et 2.$")
print('Pour le système c), on peut par exemple faire\n')
sola= '$\\left(\\begin{array}{ccc|c} \dfrac{1}{4} & -2 & 1& 5\\\\ 0& 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 2 & -1 & 0 \\end{array}\\right) \\stackrel{E_{1}(4)}{\sim}\\left(\\begin{array}{ccc|c} 1 & -8 & 4& 20\\\\ 0& 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 2 & -1 & 0\\end{array}\\right)\\stackrel{E_{31}(-1)}{\sim}\\left(\\begin{array}{ccc|c} 1& -8 & 4&20\\\\ 0 & 1 & -1&0\\\\ 0&10 &-5 & -20\\end{array}\\right)\\stackrel{E_{3}\\big({\\tiny\dfrac{1}{5}}\\big)}{\sim}\\left(\\begin{array}{ccc|c}1& -8 & 4&20\\\\ 0 & 1 & -1&0\\\\ 0&2&-1 & -4\\end{array}\\right)$'
display(Latex(sola))
else:
print("C'est faux. Veuillez rentrer d'autres valeurs")
def Ex1Chapitre2_8_9(E1, E2, E3, E4):
"""Provides the correction of exercise 2 of notebook 2_8_9
:param E1:
:type E1:
:param E2:
:type E2:
:param E3:
:type E3:
:param E4:
:type E4:
:return:
:rtype:
"""
# MATRIX A1
E_pre_1 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]
E_post_1 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1]]
# MATRIX A2
E_pre_2 = [[1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1]]
E_post_2 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1 / 2, 0], [0, 0, 0, -1]]
# MATRIX A3
E_pre_3 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, -1]]
E_post_3 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, -2], [0, 0, 0, 1]]
# MATRIX A4
E_pre_4 = [[1 / 2, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]
E_post_4 = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, -1]]
E_bool = np.zeros(4).astype(bool)
E_bool[0] = E1[0] == E_pre_1 and E1[1] == E_post_1
E_bool[1] = E2[0] == E_pre_2 and E2[1] == E_post_2
E_bool[2] = E3[0] == E_pre_3 and E3[1] == E_post_3
E_bool[3] = E4[0] == E_pre_4 and E4[1] == E_post_4
correct = set(np.where(E_bool)[0] + 1)
wrong = set(np.arange(1, 5)) - correct
if wrong:
if correct:
display(Latex(f"Corrects: {correct}"))
else:
display((Latex("Corrects: {}")))
display(Latex(f"Manqué: {wrong}"))
else:
display(Latex("C'est correct."))
return
