def normal_lccdf(mu, sigma, x):
z = (x - mu) / sigma
return tt.switch(
tt.gt(z, 1.0),
tt.log(tt.erfcx(z / tt.sqrt(2.0)) / 2.0) - tt.sqr(z) / 2.0,
tt.log1p(-tt.erfc(-z / tt.sqrt(2.0)) / 2.0),
)
def normal_lccdf(mu, sigma, x):
z = (x - mu) / sigma
return tt.switch(
tt.gt(z, 1.0),
tt.log(tt.erfcx(z / tt.sqrt(2.)) / 2.) - tt.sqr(z) / 2.,
tt.log1p(-tt.erfc(-z / tt.sqrt(2.)) / 2.)
)
def normal_lcdf(mu, sigma, x):
z = (x - mu) / sigma
return tt.switch(
tt.lt(z, -1.0),
tt.log(tt.erfcx(-z / tt.sqrt(2.)) / 2.) - tt.sqr(z) / 2,
tt.log1p(-tt.erfc(z / tt.sqrt(2.)) / 2.)
)
def normal_lcdf(mu, sigma, x):
"""Compute the log of the cumulative density function of the normal."""
z = (x - mu) / sigma
return tt.switch(
tt.lt(z, -1.0),
tt.log(tt.erfcx(-z / tt.sqrt(2.0)) / 2.0) - tt.sqr(z) / 2.0,
tt.log1p(-tt.erfc(z / tt.sqrt(2.0)) / 2.0),
)
def normal_lcdf(mu, sigma, x):
"""Compute the log of the cumulative density function of the normal."""
z = (x - mu) / sigma
return tt.switch(
tt.lt(z, -1.0),
tt.log(tt.erfcx(-z / tt.sqrt(2.)) / 2.) - tt.sqr(z) / 2.,
tt.log1p(-tt.erfc(z / tt.sqrt(2.)) / 2.)
)
def log_diff_normal_cdf(mu, sigma, x, y):
"""
Compute :math:`\\log(\\Phi(\frac{x - \\mu}{\\sigma}) - \\Phi(\frac{y - \\mu}{\\sigma}))` safely in log space.
Parameters
----------
mu: float
mean
sigma: float
std
x: float
y: float
must be strictly less than x.
Returns
-------
log (\\Phi(x) - \\Phi(y))
"""
x = (x - mu) / sigma / tt.sqrt(2.0)
y = (y - mu) / sigma / tt.sqrt(2.0)
# To stabilize the computation, consider these three regions:
# 1) x > y > 0 => Use erf(x) = 1 - e^{-x^2} erfcx(x) and erf(y) =1 - e^{-y^2} erfcx(y)
# 2) 0 > x > y => Use erf(x) = e^{-x^2} erfcx(-x) and erf(y) = e^{-y^2} erfcx(-y)
# 3) x > 0 > y => Naive formula log( (erf(x) - erf(y)) / 2 ) works fine.
return tt.log(0.5) + tt.switch(
tt.gt(y, 0),
-tt.square(y) + tt.log(tt.erfcx(y) - tt.exp(tt.square(y) - tt.square(x)) * tt.erfcx(x)),
tt.switch(
tt.lt(x, 0), # 0 > x > y
-tt.square(x)
+ tt.log(tt.erfcx(-x) - tt.exp(tt.square(x) - tt.square(y)) * tt.erfcx(-y)),
tt.log(tt.erf(x) - tt.erf(y)), # x >0 > y
),
)
