def bisection(a, b, fn, e):
"""
S vyuzitim metody Bisekcie vypocita koren funkcie fn na intervale <a,b>.
"""
assert a < b, 'Cislo b musi byt vacsie ako cislo a'
assert e > 0, 'Presnost e musi byt vacsia ako nula'
f = lambda x: eval_expr(fn, x=x)
while True:
# stred intervalu <a,b>
x = 0.5 * (a + b)
logger.info('a = {0}, b = {1}, x = {2}'.format(a, b, x))
# skonci ak je stred intervalu
# korenom funkcie inak uprav interval
if f(x) == 0:
return x
elif f(a) * f(x) < 0:
b = x
else:
a = x
# skonci pri dosiahnuti presnosti
if b - a <= e:
return x
def gaussseidel(a, b, x, e):
"""
S vyuzitim Gauss Seidelovej metody vypocita sustavu linearnych rovnic.
Matica a reprezentuje lavu stranu sustavy, matica b vektor pravej
strany a matica x reprezentuje vektor aproximacie.
Priklad:
Nevyhovujuca:
a = Matrix((
[1,1,-3],
[2,5,1],
[4,-1,2],
))
b = [-4,5,-12]
Vyhovujuca:
a = Matrix((
[11,2,1],
[1,10,2],
[2,3,-8],
))
b = [15,16,1]
"""
assert a.rows == len(b) == len(x), \
'Rozmery matice "a" a pocet prvkov vo vektoroch "b" a "x" ' \
'musi byt rovnaky'
assert e > 0, 'Presnost e musi byt vacsia ako nula'
assert check_norms(a), 'Matica nesplna konvergencne kriterium'
# novy vektor aproximacie
x1 = list(x)
while True:
for i in range(a.rows):
sum_a = sum_b = 0
for j in range(i):
sum_a += a[i, j] * x1[j]
for j in range(i + 1, a.rows):
sum_b += a[i, j] * x[j]
# vypocet dalsej aproximacie
x1[i] = (1 / a[i, i]) * (b[i] - sum_a - sum_b)
# vypocet rozdielu prvej a druhej aproximacie (norma)
error = norm_error(x1, x)
logger.info('x1 = {0}\nx = {1}\nerror = {2}\n'.format(
list_as_float(x1), list_as_float(x), float(error)))
# skonci pri dosiahnuti presnosti
if error <= e:
return list_as_float(x1)
x = list(x1)
def leastsquares(x, fx):
"""
S vyuzitim metody najmensich stvorcov urci priamku
blizko predpisanym hodnotam.
"""
# pocet x
n = len(x)
assert n == len(fx), 'Dlzka listov x a fx musi byt rovnaka'
# suma 1 * n
sum_1 = n
# suma vsetkych x
sum_x = sum(x)
# suma vsetkych mocnin x
sum_x2 = sum([i**2 for i in x])
# suma vsetkych fx
sum_fx = sum(fx)
# suma vsetkych x * fx
sum_x_fx = sum(xi * fxi for xi, fxi in zip(x, fx))
logger.info(
'sum_1 = {0}, sum_x = {1}, sum_x2 = {2}, sum_fx = {3}, sum_x_fx = {4}\n'
.format(sum_1, sum_x, sum_x2, sum_fx, sum_x_fx))
# lava strana sustavy
a = Matrix((
[sum_1, sum_x],
[sum_x, sum_x2],
))
# prava strana sustavy
b = [sum_fx, sum_x_fx]
# aproximacia riesenia pre jacobiho metodu
x = [0, 0]
# jacobiho metodou vypocita sustavu
c1, c2 = jacobi(a, b, x, e=0.01)
return '{0} + {1}x'.format(c1, c2)
def trapezoid(a, b, m, fn, e):
"""
Na intervale <a,b>, ktory sa rozdeli na m lichobeznikov, vypocita
aproximaciu urciteho integralu funkcie fn.
"""
assert a < b, 'Cislo b musi byt vacsie ako cislo a'
assert e > 0, 'Presnost e musi byt vacsia ako nula'
f = lambda x: eval_expr(fn, x=x)
I = []
J1 = 0
J2 = 0
k = 0
# rozdelenie intervalu na m rovnako dlhych dielov
h = (b - a) / m
for i in range(m):
J1 += f(a + (h * i))
J2 += f(a + h * (i + 1))
I.append((h / 2) * (J1 + J2))
while True:
J1 = 0
J2 = 0
m *= 2
# skratenie intervalu na polovicu
h /= 2
for i in range(m):
J1 += f(a + (h * i))
J2 += f(a + h * (i + 1))
I.append((h / 2) * (J1 + J2))
logger.info('m = {0}, h = {1}, Abs(I[k] - I[k + 1]) = {2}'.format(
m, h, I[k] - I[k + 1]))
# skonci pri dosiahnuti presnosti
if Abs(I[k] - I[k + 1]) <= e:
return I[k + 1]
k += 1
def babylon(n, x0, e):
"""
S vyuzitim Babylonskej metody vypocita odmocninu cisla n.
"""
assert n > 0, 'Cislo n musi byt vacsie ako nula'
assert x0 > 0, 'Pociatocna hodnota x0 musi byt vacsia ako nula'
assert e > 0, 'Presnost e musi byt vacsia ako nula'
while True:
# nova aproximacia je priemerom hodnot x0 a n / x0
x = 0.5 * (x0 + n / x0)
logger.info(
'x = {0}, x0 = {1}, Abs(x - x0) = {2}'.format(x, x0, Abs(x - x0)))
# skonci ak je dosiahnuta pozadovana presnost
if Abs(x - x0) < e:
return x
x0 = x
def newton(a, b, fn, e):
"""
S vyuzitim Newtonovej metody vypocita koren funkcie fn na intervale <a,b>.
"""
assert a < b, 'Cislo b musi byt vacsie ako cislo a'
assert e > 0, 'Presnost e musi byt vacsia ako nula'
# urci prvu a druhu derivaciu funkcie
fn_d1 = diff(fn)
fn_d2 = diff(fn_d1)
logger.info('fn_d1 = {0}, fn_d2 = {1}'.format(fn_d1, fn_d2))
f = lambda x: eval_expr(fn, x=x)
fd = lambda x: eval_expr(fn_d1, x=x)
fd2 = lambda x: eval_expr(fn_d2, x=x)
# aspon jeden z bodov musi splnit podmienku
# inak je potrebne upravit interval
if f(a) * fd2(a) > 0:
x = a
elif f(b) * fd2(b) > 0:
x = b
else:
raise ValueError('aspon jeden z bodov a alebo b musi '
'splnat podmienku f(x) * fd2(x) > 0')
while True:
# vypocet priesecnika s osou x
x1 = x - f(x) / fd(x)
logger.info(
'x = {0}, x1 = {1}, Abs(x1 - x) = {2}'.format(x, x1, Abs(x1 - x)))
# skonci pri dosiahnuti presnosti
if Abs(x1 - x) <= e:
return x1
x = x1