예제 #1
0
파일: words.py 프로젝트: pombredanne/sage-1
    def iterate_by_length(self, l=1):
        r"""
        Returns an iterator over all the words of self of length l.
        
        INPUT:

        - ``l`` - integer (default: 1), the length of the desired words
        
        EXAMPLES::

            sage: W = Words('ab')
            sage: list(W.iterate_by_length(1)) 
            [word: a, word: b]
            sage: list(W.iterate_by_length(2))
            [word: aa, word: ab, word: ba, word: bb]
            sage: list(W.iterate_by_length(3))
            [word: aaa,
             word: aab,
             word: aba,
             word: abb,
             word: baa,
             word: bab,
             word: bba,
             word: bbb]
            sage: list(W.iterate_by_length('a'))
            Traceback (most recent call last):
            ...
            TypeError: the parameter l (='a') must be an integer
        """
        if not isinstance(l, (int,Integer)):
            raise TypeError, "the parameter l (=%r) must be an integer"%l
        #if l == Integer(0):
        #    yield self()
        for w in xmrange([self.size_of_alphabet()]*l):
            yield self(map(lambda x: self.alphabet().unrank(x), w))
예제 #2
0
    def iterate_by_length(self, l=1):
        r"""
        Returns an iterator over all the words of self of length l.
        
        INPUT:

        - ``l`` - integer (default: 1), the length of the desired words
        
        EXAMPLES::

            sage: W = Words('ab')
            sage: list(W.iterate_by_length(1)) 
            [word: a, word: b]
            sage: list(W.iterate_by_length(2))
            [word: aa, word: ab, word: ba, word: bb]
            sage: list(W.iterate_by_length(3))
            [word: aaa,
             word: aab,
             word: aba,
             word: abb,
             word: baa,
             word: bab,
             word: bba,
             word: bbb]
            sage: list(W.iterate_by_length('a'))
            Traceback (most recent call last):
            ...
            TypeError: the parameter l (='a') must be an integer
        """
        if not isinstance(l, (int, Integer)):
            raise TypeError, "the parameter l (=%r) must be an integer" % l
        #if l == Integer(0):
        #    yield self()
        for w in xmrange([self.size_of_alphabet()] * l):
            yield self(map(lambda x: self.alphabet().unrank(x), w))
예제 #3
0
def units_mod_ideal(I):
    """
    Returns integral elements of the number field representing the images of
    the global units modulo the ideal ``I``.

    INPUT:

    - ``I`` -- number field ideal.

    OUTPUT:

    A list of integral elements of the number field representing the images of
    the global units modulo the ideal ``I``. Elements of the list might be
    equivalent to each other mod ``I``.

    EXAMPLES::

        sage: from sage.modular.cusps_nf import units_mod_ideal
        sage: k.<a> = NumberField(x^2 + 1)
        sage: I = k.ideal(a + 1)
        sage: units_mod_ideal(I)
        [1]
        sage: I = k.ideal(3)
        sage: units_mod_ideal(I)
        [1, a, -1, -a]

    ::

        sage: from sage.modular.cusps_nf import units_mod_ideal
        sage: k.<a> = NumberField(x^3 + 11)
        sage: k.unit_group()
        Unit group with structure C2 x Z of Number Field in a with defining polynomial x^3 + 11
        sage: I = k.ideal(5, a + 1)
        sage: units_mod_ideal(I)
        [1,
        2*a^2 + 4*a - 1,
        ...]

    ::

        sage: from sage.modular.cusps_nf import units_mod_ideal
        sage: k.<a> = NumberField(x^4 - x^3 -21*x^2 + 17*x + 133)
        sage: k.unit_group()
        Unit group with structure C6 x Z of Number Field in a with defining polynomial x^4 - x^3 - 21*x^2 + 17*x + 133
        sage: I = k.ideal(3)
        sage: U = units_mod_ideal(I)
        sage: all([U[j].is_unit() and not (U[j] in I) for j in range(len(U))])
        True
    """
    k = I.number_field()
    Uk = k.unit_group()
    Istar = I.idealstar(2)
    ulist = Uk.gens_values()
    elist = [Istar(I.ideallog(u)).order() for u in ulist]

    from sage.misc.mrange import xmrange
    from sage.misc.misc import prod

    return [prod([u**e for u,e in zip(ulist,ei)],k(1)) for ei in xmrange(elist)]
예제 #4
0
파일: cusps_nf.py 프로젝트: shalec/sage
def units_mod_ideal(I):
    """
    Returns integral elements of the number field representing the images of
    the global units modulo the ideal ``I``.

    INPUT:

    - ``I`` -- number field ideal.

    OUTPUT:

    A list of integral elements of the number field representing the images of
    the global units modulo the ideal ``I``. Elements of the list might be
    equivalent to each other mod ``I``.

    EXAMPLES::

        sage: from sage.modular.cusps_nf import units_mod_ideal
        sage: k.<a> = NumberField(x^2 + 1)
        sage: I = k.ideal(a + 1)
        sage: units_mod_ideal(I)
        [1]
        sage: I = k.ideal(3)
        sage: units_mod_ideal(I)
        [1, a, -1, -a]

    ::

        sage: from sage.modular.cusps_nf import units_mod_ideal
        sage: k.<a> = NumberField(x^3 + 11)
        sage: k.unit_group()
        Unit group with structure C2 x Z of Number Field in a with defining polynomial x^3 + 11
        sage: I = k.ideal(5, a + 1)
        sage: units_mod_ideal(I)
        [1,
        2*a^2 + 4*a - 1,
        ...]

    ::

        sage: from sage.modular.cusps_nf import units_mod_ideal
        sage: k.<a> = NumberField(x^4 - x^3 -21*x^2 + 17*x + 133)
        sage: k.unit_group()
        Unit group with structure C6 x Z of Number Field in a with defining polynomial x^4 - x^3 - 21*x^2 + 17*x + 133
        sage: I = k.ideal(3)
        sage: U = units_mod_ideal(I)
        sage: all([U[j].is_unit() and not (U[j] in I) for j in range(len(U))])
        True
    """
    k = I.number_field()
    Uk = k.unit_group()
    Istar = I.idealstar(2)
    ulist = Uk.gens_values()
    elist = [Istar(I.ideallog(u)).order() for u in ulist]

    from sage.misc.mrange import xmrange
    from sage.misc.all import prod

    return [k.prod(u**e for u, e in zip(ulist, ei)) for ei in xmrange(elist)]
예제 #5
0
    def parallel_function_combination(point_p_max):
        r"""
        Function used in parallel computation, computes rational
        points lifted.
        """
        rat_points = set()
        for tupl in xmrange(len_modulo_points):
            point = []
            for k in range(N):
                # lift all coordinates of given point using chinese remainder theorem
                L = [
                    modulo_points[j][tupl[j]][k].lift()
                    for j in range(len_primes - 1)
                ]
                L.append(point_p_max[k].lift())
                point.append(crt(L, primes_list))

            for i in range(num_comp):
                for j in range(comp_dim_relative[i]):
                    m[i][j] = point[dim_prefix[i] + j]

            # generating matrix to compute LLL reduction for each component
            M = [matrix(ZZ, comp_dim_relative[i] + 1, comp_dim_relative[i], m[i]) \
                                                                for i in range(num_comp)]
            A = [M[i].LLL() for i in range(num_comp)]
            point = []
            for i in range(num_comp):
                point.extend(A[i][1])

            # check if all coordinates of this point satisfy height bound
            bound_satisfied = True
            for coordinate in point:
                if coordinate.abs() > bound:
                    bound_satisfied = False
                    break
            if not bound_satisfied:
                continue

            try:
                rat_points.add(
                    X(point))  # checks if this point lies on X or not
            except:
                pass

        return [list(_) for _ in rat_points]
예제 #6
0
    def parallel_function_combination(point_p_max):
        r"""
        Function used in parallel computation, computes rational
        points lifted.
        """
        rat_points = set()
        for tupl in xmrange(len_modulo_points):
            point = []
            for k in range(N + 1):
                # lift all coordinates of given point using chinese remainder theorem
                L = [
                    modulo_points[j][tupl[j]][k].lift()
                    for j in range(len_primes - 1)
                ]
                L.append(point_p_max[k].lift())
                point.append(crt(L, primes_list))

            for i in range(N + 1):
                m[i] = point[i]

            M = matrix(ZZ, N + 2, N + 1, m)
            A = M.LLL()
            point = list(A[1])

            # check if all coordinates of this point satisfy height bound
            bound_satisfied = True
            for coordinate in point:
                if coordinate.abs() > bound:
                    bound_satisfied = False
                    break
            if not bound_satisfied:
                continue

            try:
                pt = X(list(A[1]))
            except TypeError:
                pass
            else:
                rat_points.add(pt)

        return [list(_) for _ in rat_points]
예제 #7
0
파일: homset.py 프로젝트: drupel/sage
    def points(self, B=0, prec=53):
        r"""
        Return some or all rational points of a projective scheme.

        Over a finite field, all points are returned. Over an infinite field, all points satisfying the bound
        are returned. For a zero-dimensional subscheme, all points are returned regardless of whether the base
        ring is a field or not.

        INPUT:

        - `B` -- integer (optional, default=0). The bound for the
          coordinates.
        - ``prec`` - the precision to use to compute the elements of bounded height for number fields.

        OUTPUT:

        - a list of rational points of a projective scheme.

        .. WARNING::

           In the current implementation, the output of the [Doyle-Krumm]_ algorithm
           cannot be guaranteed to be correct due to the necessity of floating point
           computations. In some cases, the default 53-bit precision is
           considerably lower than would be required for the algorithm to
           generate correct output.

        EXAMPLES::

            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ)
            sage: X = P.subscheme([x - y, z^2 - 2*w^2])
            sage: X(P.base_ring()).points()
            []

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1,1], NumberField(u^2 - 2, 'v'))
            sage: X = P.subscheme([x^2 - y^2, z^2 - 2*w^2])
            sage: X(P.base_ring()).points()
            [(-1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , v : 1)]

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: K = NumberField(u^2 + 1, 'v')
            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], K)
            sage: P(K).points(1)
            [(0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , v : 1), (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , -v : 1), (0 : 1 , 1 : 1),
            (0 : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , -v : 1),
            (v : 1 , 1 : 1), (v : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , v : 1), (-1 : 1 , -1 : 1),
            (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 1 : 1), (-1 : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 0 : 1), (-v : 1 , v : 1),
            (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , -v : 1), (-v : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 0 : 1),
            (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 , 1 : 0),
            (1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 , v : 1), (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 1 : 1),
            (1 : 0 , 1 : 0)]

        ::

            sage: P.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2, 1], GF(3))
            sage: P(P.base_ring()).points()
            [(0 : 0 : 1 , 0 : 1), (1 : 0 : 1 , 0 : 1), (2 : 0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 : 1 , 0 : 1),
            (2 : 1 : 1 , 0 : 1), (0 : 2 : 1 , 0 : 1), (1 : 2 : 1 , 0 : 1), (2 : 2 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 0 , 0 : 1),
            (1 : 1 : 0 , 0 : 1), (2 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 : 0 , 0 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 1), (1 : 0 : 1 , 1 : 1),
            (2 : 0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 : 1 , 1 : 1), (2 : 1 : 1 , 1 : 1), (0 : 2 : 1 , 1 : 1),
            (1 : 2 : 1 , 1 : 1), (2 : 2 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 : 0 , 1 : 1), (2 : 1 : 0 , 1 : 1),
            (1 : 0 : 0 , 1 : 1), (0 : 0 : 1 , 2 : 1), (1 : 0 : 1 , 2 : 1), (2 : 0 : 1 , 2 : 1), (0 : 1 : 1 , 2 : 1),
            (1 : 1 : 1 , 2 : 1), (2 : 1 : 1 , 2 : 1), (0 : 2 : 1 , 2 : 1), (1 : 2 : 1 , 2 : 1), (2 : 2 : 1 , 2 : 1),
            (0 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 1 : 0 , 2 : 1), (2 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 0 : 0 , 2 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 0),
            (1 : 0 : 1 , 1 : 0), (2 : 0 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 : 1 , 1 : 0), (2 : 1 : 1 , 1 : 0),
            (0 : 2 : 1 , 1 : 0), (1 : 2 : 1 , 1 : 0), (2 : 2 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 1 : 0 , 1 : 0),
            (2 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 : 0 , 1 : 0)]
        """
        X = self.codomain()

        from sage.schemes.product_projective.space import is_ProductProjectiveSpaces
        if not is_ProductProjectiveSpaces(X) and X.base_ring() in Fields():
            # no points
            if X.dimension() == -1:
                return []
            # if X is zero-dimensional
            if X.dimension() == 0:
                points = set()
                # find points from all possible affine patches
                for I in xmrange([n + 1 for n in X.ambient_space().dimension_relative_components()]):
                    [Y,phi] = X.affine_patch(I, True)
                    aff_points = Y.rational_points()
                    for PP in aff_points:
                        points.add(phi(PP))
                return list(points)
        R = self.value_ring()
        points = []
        if R in NumberFields():
            if not B > 0:
                raise TypeError("a positive bound B (= %s) must be specified"%B)
            for P in X.ambient_space().points_of_bounded_height(B, prec):
                try:
                    points.append(X(P))
                except TypeError:
                    pass
            return points
        if is_FiniteField(R):
            for P in X.ambient_space().rational_points():
                try:
                    points.append(X(P))
                except TypeError:
                    pass
            return points
        else:
            raise TypeError("unable to enumerate points over %s"%R)
예제 #8
0
파일: homset.py 프로젝트: vojtechsu/sage
    def points(self, **kwds):
        r"""
        Return some or all rational points of a projective scheme.

        Over a finite field, all points are returned. Over an infinite field, all points satisfying the bound
        are returned. For a zero-dimensional subscheme, all points are returned regardless of whether the base
        ring is a field or not.

        For number fields, this uses the
        Doyle-Krumm algorithm 4 (algorithm 5 for imaginary quadratic) for
        computing algebraic numbers up to a given height [DK2013]_ or
        uses the chinese remainder theorem and points modulo primes
        for larger bounds.

        The algorithm requires floating point arithmetic, so the user is
        allowed to specify the precision for such calculations.
        Additionally, due to floating point issues, points
        slightly larger than the bound may be returned. This can be controlled
        by lowering the tolerance.


        INPUT:

        - ``bound`` - a real number

        - ``tolerance`` - a rational number in (0,1] used in doyle-krumm algorithm-4

        - ``precision`` - the precision to use for computing the elements of bounded height of number fields.

        - ``algorithm`` - either 'sieve' or 'enumerate' algorithms can be used over `QQ`. If
          not specified, enumerate is used only for small height bounds.

        OUTPUT:

        - a list of rational points of a projective scheme

        EXAMPLES::

            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ)
            sage: X = P.subscheme([x - y, z^2 - 2*w^2])
            sage: X(P.base_ring()).points()
            []

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1,1], NumberField(u^2 - 2, 'v'))
            sage: X = P.subscheme([x^2 - y^2, z^2 - 2*w^2])
            sage: sorted(X(P.base_ring()).points())
            [(-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , v : 1)]

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: K = NumberField(u^2 + 1, 'v')
            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], K)
            sage: P(K).points(bound=1)
            [(-1 : 1 , -1 : 1), (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , v : 1),
            (-1 : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , -v : 1),
            (-v : 1 , 0 : 1), (-v : 1 , v : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 1 : 1),
            (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , -v : 1), (0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , v : 1),
            (0 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 , 1 : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , -v : 1),
            (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 1 : 1),
            (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 , v : 1),
            (1 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , -v : 1),
            (1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 1)]

        ::

            sage: P.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2, 1], GF(3))
            sage: P(P.base_ring()).points()
            [(0 : 0 : 1 , 0 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 0), (0 : 0 : 1 , 1 : 1), (0 : 0 : 1 , 2 : 1),
            (0 : 1 : 0 , 0 : 1), (0 : 1 : 0 , 1 : 0), (0 : 1 : 0 , 1 : 1), (0 : 1 : 0 , 2 : 1),
            (0 : 1 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 1 , 2 : 1),
            (0 : 2 : 1 , 0 : 1), (0 : 2 : 1 , 1 : 0), (0 : 2 : 1 , 1 : 1), (0 : 2 : 1 , 2 : 1),
            (1 : 0 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 : 0 , 1 : 1), (1 : 0 : 0 , 2 : 1),
            (1 : 0 : 1 , 0 : 1), (1 : 0 : 1 , 1 : 0), (1 : 0 : 1 , 1 : 1), (1 : 0 : 1 , 2 : 1),
            (1 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 : 0 , 2 : 1),
            (1 : 1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 : 1 , 2 : 1), 
            (1 : 2 : 1 , 0 : 1), (1 : 2 : 1 , 1 : 0), (1 : 2 : 1 , 1 : 1), (1 : 2 : 1 , 2 : 1),
            (2 : 0 : 1 , 0 : 1), (2 : 0 : 1 , 1 : 0), (2 : 0 : 1 , 1 : 1), (2 : 0 : 1 , 2 : 1),
            (2 : 1 : 0 , 0 : 1), (2 : 1 : 0 , 1 : 0), (2 : 1 : 0 , 1 : 1), (2 : 1 : 0 , 2 : 1),
            (2 : 1 : 1 , 0 : 1), (2 : 1 : 1 , 1 : 0), (2 : 1 : 1 , 1 : 1), (2 : 1 : 1 , 2 : 1),
            (2 : 2 : 1 , 0 : 1), (2 : 2 : 1 , 1 : 0), (2 : 2 : 1 , 1 : 1), (2 : 2 : 1 , 2 : 1)]

        ::

            sage: PP.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2,1], QQ)
            sage: X = PP.subscheme([x + y, u*u-v*u])
            sage: X.rational_points(bound=2)
            [(-2 : 2 : 1 , 0 : 1),
             (-2 : 2 : 1 , 1 : 1),
             (-1 : 1 : 0 , 0 : 1),
             (-1 : 1 : 0 , 1 : 1),
             (-1 : 1 : 1 , 0 : 1),
             (-1 : 1 : 1 , 1 : 1),
             (-1/2 : 1/2 : 1 , 0 : 1),
             (-1/2 : 1/2 : 1 , 1 : 1),
             (0 : 0 : 1 , 0 : 1),
             (0 : 0 : 1 , 1 : 1),
             (1/2 : -1/2 : 1 , 0 : 1),
             (1/2 : -1/2 : 1 , 1 : 1),
             (1 : -1 : 1 , 0 : 1),
             (1 : -1 : 1 , 1 : 1),
             (2 : -2 : 1 , 0 : 1),
             (2 : -2 : 1 , 1 : 1)]

        better to enumerate with low codimension::

            sage: PP.<x,y,z,u,v,a,b,c> = ProductProjectiveSpaces([2,1,2], QQ)
            sage: X = PP.subscheme([x*u^2*a, b*z*u*v,z*v^2*c ])
            sage: len(X.rational_points(bound=1, algorithm='enumerate'))
            232
         """
        B = kwds.pop('bound', 0)
        X = self.codomain()

        from sage.schemes.product_projective.space import is_ProductProjectiveSpaces
        if not is_ProductProjectiveSpaces(X) and X.base_ring() in Fields():
            # no points
            if X.dimension() == -1:
                return []
            # if X is zero-dimensional
            if X.dimension() == 0:
                points = set()
                # find points from all possible affine patches
                for I in xmrange([n + 1 for n in X.ambient_space().dimension_relative_components()]):
                    [Y,phi] = X.affine_patch(I, True)
                    aff_points = Y.rational_points()
                    for PP in aff_points:
                        points.add(phi(PP))
                return list(points)
        R = self.value_ring()
        points = []
        if is_RationalField(R):
            if not B > 0:
                raise TypeError("a positive bound B (= %s) must be specified"%B)
            alg = kwds.pop('algorithm', None)
            if alg is None:
                # sieve should only be called for subschemes and if the bound is not very small
                N = prod([k+1 for k in X.ambient_space().dimension_relative_components()])
                if isinstance(X, AlgebraicScheme_subscheme) and B**N > 5000:
                    from sage.schemes.product_projective.rational_point import sieve
                    return sieve(X, B)
                else:
                    from sage.schemes.product_projective.rational_point import enum_product_projective_rational_field
                    return enum_product_projective_rational_field(self, B)
            elif alg == 'sieve':
                from sage.schemes.product_projective.rational_point import sieve
                return sieve(X, B)
            elif alg == 'enumerate':
                from sage.schemes.product_projective.rational_point import enum_product_projective_rational_field
                return enum_product_projective_rational_field(self, B)
            else:
                raise ValueError("algorithm must be 'sieve' or 'enumerate'")
        elif R in NumberFields():
            if not B > 0:
                raise TypeError("a positive bound B (= %s) must be specified"%B)
            from sage.schemes.product_projective.rational_point import enum_product_projective_number_field
            return enum_product_projective_number_field(self, bound=B)
        elif is_FiniteField(R):
            from sage.schemes.product_projective.rational_point import enum_product_projective_finite_field
            return enum_product_projective_finite_field(self)
        else:
            raise TypeError("unable to enumerate points over %s" % R)
예제 #9
0
파일: space.py 프로젝트: drupel/sage
    def points_of_bounded_height(self,bound, prec=53):
        r"""
        Returns an iterator of the points in this product of projective spaces with the absolute heights of the
        components of at most the given bound.

        Bound check is strict for the rational field. Requires the base field of this space to be a number field.
        Uses the Doyle-Krumm algorithm for computing algebraic numbers up to a given height [Doyle-Krumm]_.

        INPUT:

        - ``bound`` - a real number

        - ``prec`` - the precision to use to compute the elements of bounded height for number fields

        OUTPUT:

        - an iterator of points in this space

        .. WARNING::

           In the current implementation, the output of the [Doyle-Krumm]_ algorithm
           cannot be guaranteed to be correct due to the necessity of floating point
           computations. In some cases, the default 53-bit precision is
           considerably lower than would be required for the algorithm to
           generate correct output.

        EXAMPLES::

            sage: PP = ProductProjectiveSpaces(QQ, [1, 2])
            sage: list(PP.points_of_bounded_height(2))
            [(0 : 1 , 0 : 0 : 1), (0 : 1 , 1 : 0 : 1), (0 : 1 , -1 : 0 : 1), (0 : 1 , 0 : 1 : 1),
            (0 : 1 , 1 : 1 : 1), (0 : 1 , -1 : 1 : 1), (0 : 1 , 0 : -1 : 1), (0 : 1 , 1 : -1 : 1),
            (0 : 1 , -1 : -1 : 1), (0 : 1 , 0 : 1 : 0), (0 : 1 , 1 : 1 : 0), (0 : 1 , -1 : 1 : 0),
            (0 : 1 , 1 : 0 : 0), (1 : 1 , 0 : 0 : 1), (1 : 1 , 1 : 0 : 1), (1 : 1 , -1 : 0 : 1),
            (1 : 1 , 0 : 1 : 1), (1 : 1 , 1 : 1 : 1), (1 : 1 , -1 : 1 : 1), (1 : 1 , 0 : -1 : 1),
            (1 : 1 , 1 : -1 : 1), (1 : 1 , -1 : -1 : 1), (1 : 1 , 0 : 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 1 : 0),
            (1 : 1 , -1 : 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 0 : 0), (-1 : 1 , 0 : 0 : 1), (-1 : 1 , 1 : 0 : 1),
            (-1 : 1 , -1 : 0 : 1), (-1 : 1 , 0 : 1 : 1), (-1 : 1 , 1 : 1 : 1), (-1 : 1 , -1 : 1 : 1),
            (-1 : 1 , 0 : -1 : 1), (-1 : 1 , 1 : -1 : 1), (-1 : 1 , -1 : -1 : 1), (-1 : 1 , 0 : 1 : 0),
            (-1 : 1 , 1 : 1 : 0), (-1 : 1 , -1 : 1 : 0), (-1 : 1 , 1 : 0 : 0), (1 : 0 , 0 : 0 : 1),
            (1 : 0 , 1 : 0 : 1), (1 : 0 , -1 : 0 : 1), (1 : 0 , 0 : 1 : 1), (1 : 0 , 1 : 1 : 1),
            (1 : 0 , -1 : 1 : 1), (1 : 0 , 0 : -1 : 1), (1 : 0 , 1 : -1 : 1), (1 : 0 , -1 : -1 : 1),
            (1 : 0 , 0 : 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 1 : 0), (1 : 0 , -1 : 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 0 : 0)]

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: P = ProductProjectiveSpaces([1, 1], NumberField(u^2 - 2, 'v'))
            sage: list(P.points_of_bounded_height(1.5))
            [(0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 , -1/2*v : 1), (0 : 1 , -v : 1),
            (0 : 1 , 1/2*v : 1), (0 : 1 , v : 1), (0 : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , -1 : 1),
            (-1 : 1 , 1 : 1), (-1 : 1 , -1/2*v : 1), (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 1/2*v : 1), (-1 : 1 , v : 1),
            (-1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 , -1/2*v : 1),
            (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , 1/2*v : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , 1 : 0), (-1/2*v : 1 , 0 : 1),
            (-1/2*v : 1 , -1 : 1), (-1/2*v : 1 , 1 : 1), (-1/2*v : 1 , -1/2*v : 1), (-1/2*v : 1 , -v : 1),
            (-1/2*v : 1 , 1/2*v : 1), (-1/2*v : 1 , v : 1), (-1/2*v : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 0 : 1),
            (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , -1/2*v : 1), (-v : 1 , -v : 1), (-v : 1 , 1/2*v : 1),
            (-v : 1 , v : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (1/2*v : 1 , 0 : 1), (1/2*v : 1 , -1 : 1), (1/2*v : 1 , 1 : 1),
            (1/2*v : 1 , -1/2*v : 1), (1/2*v : 1 , -v : 1), (1/2*v : 1 , 1/2*v : 1), (1/2*v : 1 , v : 1),
            (1/2*v : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , 1 : 1), (v : 1 , -1/2*v : 1),
            (v : 1 , -v : 1), (v : 1 , 1/2*v : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , 1 : 0), (1 : 0 , 0 : 1),
            (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , 1 : 1), (1 : 0 , -1/2*v : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 1/2*v : 1),
            (1 : 0 , v : 1), (1 : 0 , 1 : 0)]
        """
        m = self.num_components()
        comp_points = [list(self._components[i].points_of_bounded_height(bound, prec)) for i in range(m)]
        indices = xmrange([len(comp_points[i]) for i in range(m)])
        return iter([self([comp_points[t][I[t]] for t in range(m)]) for I in indices])
예제 #10
0
    def points_of_bounded_height(self,bound, prec=53):
        r"""
        Returns an iterator of the points in this product of projective spaces with the absolute heights of the
        components of at most the given bound.

        Bound check is strict for the rational field. Requires the base field of this space to be a number field.
        Uses the Doyle-Krumm algorithm for computing algebraic numbers up to a given height [Doyle-Krumm]_.

        INPUT:

        - ``bound`` - a real number

        - ``prec`` - the precision to use to compute the elements of bounded height for number fields

        OUTPUT:

        - an iterator of points in this space

        .. WARNING::

           In the current implementation, the output of the [Doyle-Krumm]_ algorithm
           cannot be guaranteed to be correct due to the necessity of floating point
           computations. In some cases, the default 53-bit precision is
           considerably lower than would be required for the algorithm to
           generate correct output.

        EXAMPLES::

            sage: PP = ProductProjectiveSpaces(QQ, [1, 2])
            sage: list(PP.points_of_bounded_height(2))
            [(0 : 1 , 0 : 0 : 1), (0 : 1 , 1 : 0 : 1), (0 : 1 , -1 : 0 : 1), (0 : 1 , 0 : 1 : 1),
            (0 : 1 , 1 : 1 : 1), (0 : 1 , -1 : 1 : 1), (0 : 1 , 0 : -1 : 1), (0 : 1 , 1 : -1 : 1),
            (0 : 1 , -1 : -1 : 1), (0 : 1 , 0 : 1 : 0), (0 : 1 , 1 : 1 : 0), (0 : 1 , -1 : 1 : 0),
            (0 : 1 , 1 : 0 : 0), (1 : 1 , 0 : 0 : 1), (1 : 1 , 1 : 0 : 1), (1 : 1 , -1 : 0 : 1),
            (1 : 1 , 0 : 1 : 1), (1 : 1 , 1 : 1 : 1), (1 : 1 , -1 : 1 : 1), (1 : 1 , 0 : -1 : 1),
            (1 : 1 , 1 : -1 : 1), (1 : 1 , -1 : -1 : 1), (1 : 1 , 0 : 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 1 : 0),
            (1 : 1 , -1 : 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 0 : 0), (-1 : 1 , 0 : 0 : 1), (-1 : 1 , 1 : 0 : 1),
            (-1 : 1 , -1 : 0 : 1), (-1 : 1 , 0 : 1 : 1), (-1 : 1 , 1 : 1 : 1), (-1 : 1 , -1 : 1 : 1),
            (-1 : 1 , 0 : -1 : 1), (-1 : 1 , 1 : -1 : 1), (-1 : 1 , -1 : -1 : 1), (-1 : 1 , 0 : 1 : 0),
            (-1 : 1 , 1 : 1 : 0), (-1 : 1 , -1 : 1 : 0), (-1 : 1 , 1 : 0 : 0), (1 : 0 , 0 : 0 : 1),
            (1 : 0 , 1 : 0 : 1), (1 : 0 , -1 : 0 : 1), (1 : 0 , 0 : 1 : 1), (1 : 0 , 1 : 1 : 1),
            (1 : 0 , -1 : 1 : 1), (1 : 0 , 0 : -1 : 1), (1 : 0 , 1 : -1 : 1), (1 : 0 , -1 : -1 : 1),
            (1 : 0 , 0 : 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 1 : 0), (1 : 0 , -1 : 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 0 : 0)]

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: P = ProductProjectiveSpaces([1, 1], NumberField(u^2 - 2, 'v'))
            sage: list(P.points_of_bounded_height(1.5))
            [(0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 , -1/2*v : 1), (0 : 1 , -v : 1),
            (0 : 1 , 1/2*v : 1), (0 : 1 , v : 1), (0 : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , -1 : 1),
            (-1 : 1 , 1 : 1), (-1 : 1 , -1/2*v : 1), (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 1/2*v : 1), (-1 : 1 , v : 1),
            (-1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 , -1/2*v : 1),
            (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , 1/2*v : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , 1 : 0), (-1/2*v : 1 , 0 : 1),
            (-1/2*v : 1 , -1 : 1), (-1/2*v : 1 , 1 : 1), (-1/2*v : 1 , -1/2*v : 1), (-1/2*v : 1 , -v : 1),
            (-1/2*v : 1 , 1/2*v : 1), (-1/2*v : 1 , v : 1), (-1/2*v : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 0 : 1),
            (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , -1/2*v : 1), (-v : 1 , -v : 1), (-v : 1 , 1/2*v : 1),
            (-v : 1 , v : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (1/2*v : 1 , 0 : 1), (1/2*v : 1 , -1 : 1), (1/2*v : 1 , 1 : 1),
            (1/2*v : 1 , -1/2*v : 1), (1/2*v : 1 , -v : 1), (1/2*v : 1 , 1/2*v : 1), (1/2*v : 1 , v : 1),
            (1/2*v : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , 1 : 1), (v : 1 , -1/2*v : 1),
            (v : 1 , -v : 1), (v : 1 , 1/2*v : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , 1 : 0), (1 : 0 , 0 : 1),
            (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , 1 : 1), (1 : 0 , -1/2*v : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 1/2*v : 1),
            (1 : 0 , v : 1), (1 : 0 , 1 : 0)]
        """
        m = self.num_components()
        comp_points = [list(self._components[i].points_of_bounded_height(bound, prec)) for i in range(m)]
        indices = xmrange([len(comp_points[i]) for i in range(m)])
        return iter([self([comp_points[t][I[t]] for t in range(m)]) for I in indices])
예제 #11
0
파일: space.py 프로젝트: lwhsu/sagemath
    def points_of_bounded_height(self, **kwds):
        r"""
        Returns an iterator of the points in this product of projective spaces with the absolute heights of the
        components of at most the given bound.

        Bound check is strict for the rational field. Requires the base field of this space to be a number field.
        Uses the
        Doyle-Krumm algorithm 4 (algorithm 5 for imaginary quadratic) for
        computing algebraic numbers up to a given height [Doyle-Krumm]_.

        The algorithm requires floating point arithmetic, so the user is
        allowed to specify the precision for such calculations.
        Additionally, due to floating point issues, points
        slightly larger than the bound may be returned. This can be controlled
        by lowering the tolerance.


        INPUT:

        - ``bound`` - a real number

        - ``tolerance`` - a rational number in (0,1] used in doyle-krumm algorithm-4

        - ``precision`` - the precision to use for computing the elements of bounded height of number fields.

        OUTPUT:

        - an iterator of points in this space

        EXAMPLES::

            sage: PP = ProductProjectiveSpaces(QQ, [1, 2])
            sage: list(PP.points_of_bounded_height(bound=2))
            [(0 : 1 , 0 : 0 : 1), (0 : 1 , 1 : 0 : 1), (0 : 1 , -1 : 0 : 1), (0 : 1 , 0 : 1 : 1),
            (0 : 1 , 1 : 1 : 1), (0 : 1 , -1 : 1 : 1), (0 : 1 , 0 : -1 : 1), (0 : 1 , 1 : -1 : 1),
            (0 : 1 , -1 : -1 : 1), (0 : 1 , 0 : 1 : 0), (0 : 1 , 1 : 1 : 0), (0 : 1 , -1 : 1 : 0),
            (0 : 1 , 1 : 0 : 0), (1 : 1 , 0 : 0 : 1), (1 : 1 , 1 : 0 : 1), (1 : 1 , -1 : 0 : 1),
            (1 : 1 , 0 : 1 : 1), (1 : 1 , 1 : 1 : 1), (1 : 1 , -1 : 1 : 1), (1 : 1 , 0 : -1 : 1),
            (1 : 1 , 1 : -1 : 1), (1 : 1 , -1 : -1 : 1), (1 : 1 , 0 : 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 1 : 0),
            (1 : 1 , -1 : 1 : 0), (1 : 1 , 1 : 0 : 0), (-1 : 1 , 0 : 0 : 1), (-1 : 1 , 1 : 0 : 1),
            (-1 : 1 , -1 : 0 : 1), (-1 : 1 , 0 : 1 : 1), (-1 : 1 , 1 : 1 : 1), (-1 : 1 , -1 : 1 : 1),
            (-1 : 1 , 0 : -1 : 1), (-1 : 1 , 1 : -1 : 1), (-1 : 1 , -1 : -1 : 1), (-1 : 1 , 0 : 1 : 0),
            (-1 : 1 , 1 : 1 : 0), (-1 : 1 , -1 : 1 : 0), (-1 : 1 , 1 : 0 : 0), (1 : 0 , 0 : 0 : 1),
            (1 : 0 , 1 : 0 : 1), (1 : 0 , -1 : 0 : 1), (1 : 0 , 0 : 1 : 1), (1 : 0 , 1 : 1 : 1),
            (1 : 0 , -1 : 1 : 1), (1 : 0 , 0 : -1 : 1), (1 : 0 , 1 : -1 : 1), (1 : 0 , -1 : -1 : 1),
            (1 : 0 , 0 : 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 1 : 0), (1 : 0 , -1 : 1 : 0), (1 : 0 , 1 : 0 : 0)]

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: P = ProductProjectiveSpaces([1, 1], NumberField(u^2 - 2, 'v'))
            sage: list(P.points_of_bounded_height(bound=1.5))
            [(0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 , -1/2*v : 1), (0 : 1 , -v : 1),
            (0 : 1 , 1/2*v : 1), (0 : 1 , v : 1), (0 : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , -1 : 1),
            (-1 : 1 , 1 : 1), (-1 : 1 , -1/2*v : 1), (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 1/2*v : 1), (-1 : 1 , v : 1),
            (-1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 , -1/2*v : 1),
            (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , 1/2*v : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , 1 : 0), (-1/2*v : 1 , 0 : 1),
            (-1/2*v : 1 , -1 : 1), (-1/2*v : 1 , 1 : 1), (-1/2*v : 1 , -1/2*v : 1), (-1/2*v : 1 , -v : 1),
            (-1/2*v : 1 , 1/2*v : 1), (-1/2*v : 1 , v : 1), (-1/2*v : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 0 : 1),
            (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , -1/2*v : 1), (-v : 1 , -v : 1), (-v : 1 , 1/2*v : 1),
            (-v : 1 , v : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (1/2*v : 1 , 0 : 1), (1/2*v : 1 , -1 : 1), (1/2*v : 1 , 1 : 1),
            (1/2*v : 1 , -1/2*v : 1), (1/2*v : 1 , -v : 1), (1/2*v : 1 , 1/2*v : 1), (1/2*v : 1 , v : 1),
            (1/2*v : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , 1 : 1), (v : 1 , -1/2*v : 1),
            (v : 1 , -v : 1), (v : 1 , 1/2*v : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , 1 : 0), (1 : 0 , 0 : 1),
            (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , 1 : 1), (1 : 0 , -1/2*v : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 1/2*v : 1),
            (1 : 0 , v : 1), (1 : 0 , 1 : 0)]
        """
        B = kwds.pop('bound')
        tol = kwds.pop('tolerance', 1e-2)
        prec = kwds.pop('precision', 53)
        m = self.num_components()
        comp_points = [list(self._components[i].points_of_bounded_height(bound=B, tolerance=tol, precision=prec)) for i in range(m)]
        indices = xmrange([len(comp_points[i]) for i in range(m)])
        return iter([self([comp_points[t][I[t]] for t in range(m)]) for I in indices])
예제 #12
0
    def points(self, **kwds):
        r"""
        Return some or all rational points of a projective scheme.

        Over a finite field, all points are returned. Over an infinite field, all points satisfying the bound
        are returned. For a zero-dimensional subscheme, all points are returned regardless of whether the base
        ring is a field or not.

        For number fields, this uses the
        Doyle-Krumm algorithm 4 (algorithm 5 for imaginary quadratic) for
        computing algebraic numbers up to a given height [Doyle-Krumm]_.

        The algorithm requires floating point arithmetic, so the user is
        allowed to specify the precision for such calculations.
        Additionally, due to floating point issues, points
        slightly larger than the bound may be returned. This can be controlled
        by lowering the tolerance.


        INPUT:

        - ``bound`` - a real number

        - ``tolerance`` - a rational number in (0,1] used in doyle-krumm algorithm-4

        - ``precision`` - the precision to use for computing the elements of bounded height of number fields.

        OUTPUT:

        - a list of rational points of a projective scheme

        EXAMPLES::

            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ)
            sage: X = P.subscheme([x - y, z^2 - 2*w^2])
            sage: X(P.base_ring()).points()
            []

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1,1], NumberField(u^2 - 2, 'v'))
            sage: X = P.subscheme([x^2 - y^2, z^2 - 2*w^2])
            sage: X(P.base_ring()).points()
            [(-1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , v : 1)]

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: K = NumberField(u^2 + 1, 'v')
            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], K)
            sage: P(K).points(bound=1)
            [(0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , v : 1), (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , -v : 1), (0 : 1 , 1 : 1),
            (0 : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , -v : 1),
            (v : 1 , 1 : 1), (v : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , v : 1), (-1 : 1 , -1 : 1),
            (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 1 : 1), (-1 : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 0 : 1), (-v : 1 , v : 1),
            (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , -v : 1), (-v : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 0 : 1),
            (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 , 1 : 0),
            (1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 , v : 1), (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 1 : 1),
            (1 : 0 , 1 : 0)]

        ::

            sage: P.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2, 1], GF(3))
            sage: P(P.base_ring()).points()
            [(0 : 0 : 1 , 0 : 1), (1 : 0 : 1 , 0 : 1), (2 : 0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 : 1 , 0 : 1),
            (2 : 1 : 1 , 0 : 1), (0 : 2 : 1 , 0 : 1), (1 : 2 : 1 , 0 : 1), (2 : 2 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 0 , 0 : 1),
            (1 : 1 : 0 , 0 : 1), (2 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 : 0 , 0 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 1), (1 : 0 : 1 , 1 : 1),
            (2 : 0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 : 1 , 1 : 1), (2 : 1 : 1 , 1 : 1), (0 : 2 : 1 , 1 : 1),
            (1 : 2 : 1 , 1 : 1), (2 : 2 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 : 0 , 1 : 1), (2 : 1 : 0 , 1 : 1),
            (1 : 0 : 0 , 1 : 1), (0 : 0 : 1 , 2 : 1), (1 : 0 : 1 , 2 : 1), (2 : 0 : 1 , 2 : 1), (0 : 1 : 1 , 2 : 1),
            (1 : 1 : 1 , 2 : 1), (2 : 1 : 1 , 2 : 1), (0 : 2 : 1 , 2 : 1), (1 : 2 : 1 , 2 : 1), (2 : 2 : 1 , 2 : 1),
            (0 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 1 : 0 , 2 : 1), (2 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 0 : 0 , 2 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 0),
            (1 : 0 : 1 , 1 : 0), (2 : 0 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 : 1 , 1 : 0), (2 : 1 : 1 , 1 : 0),
            (0 : 2 : 1 , 1 : 0), (1 : 2 : 1 , 1 : 0), (2 : 2 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 1 : 0 , 1 : 0),
            (2 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 : 0 , 1 : 0)]
        """
        B = kwds.pop('bound', 0)
        tol = kwds.pop('tolerance', 1e-2)
        prec = kwds.pop('precision', 53)

        X = self.codomain()

        from sage.schemes.product_projective.space import is_ProductProjectiveSpaces
        if not is_ProductProjectiveSpaces(X) and X.base_ring() in Fields():
            # no points
            if X.dimension() == -1:
                return []
            # if X is zero-dimensional
            if X.dimension() == 0:
                points = set()
                # find points from all possible affine patches
                for I in xmrange([
                        n + 1 for n in
                        X.ambient_space().dimension_relative_components()
                ]):
                    [Y, phi] = X.affine_patch(I, True)
                    aff_points = Y.rational_points()
                    for PP in aff_points:
                        points.add(phi(PP))
                return list(points)
        R = self.value_ring()
        points = []
        if R in NumberFields():
            if not B > 0:
                raise TypeError("a positive bound B (= %s) must be specified" %
                                B)
            for P in X.ambient_space().points_of_bounded_height(
                    bound=B, tolerance=tol, precision=prec):
                try:
                    points.append(X(P))
                except TypeError:
                    pass
            return points
        if is_FiniteField(R):
            for P in X.ambient_space().rational_points():
                try:
                    points.append(X(P))
                except TypeError:
                    pass
            return points
        else:
            raise TypeError("unable to enumerate points over %s" % R)
예제 #13
0
    def points(self, B=0, prec=53):
        r"""
        Return some or all rational points of a projective scheme.

        Over a finite field, all points are returned. Over an infinite field, all points satisfying the bound
        are returned. For a zero-dimensional subscheme, all points are returned regardless of whether the base
        ring is a field or not.

        INPUT:

        - `B` -- integer (optional, default=0). The bound for the
          coordinates.
        - ``prec`` - the precision to use to compute the elements of bounded height for number fields.

        OUTPUT:

        - a list of rational points of a projective scheme.

        .. WARNING::

           In the current implementation, the output of the [Doyle-Krumm]_ algorithm
           cannot be guaranteed to be correct due to the necessity of floating point
           computations. In some cases, the default 53-bit precision is
           considerably lower than would be required for the algorithm to
           generate correct output.

        EXAMPLES::

            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ)
            sage: X = P.subscheme([x - y, z^2 - 2*w^2])
            sage: X(P.base_ring()).points()
            []

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1,1], NumberField(u^2 - 2, 'v'))
            sage: X = P.subscheme([x^2 - y^2, z^2 - 2*w^2])
            sage: X(P.base_ring()).points()
            [(-1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , v : 1)]

        ::

            sage: u = QQ['u'].0
            sage: K = NumberField(u^2 + 1, 'v')
            sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], K)
            sage: P(K).points(1)
            [(0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , v : 1), (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , -v : 1), (0 : 1 , 1 : 1),
            (0 : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , -v : 1),
            (v : 1 , 1 : 1), (v : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , v : 1), (-1 : 1 , -1 : 1),
            (-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 1 : 1), (-1 : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 0 : 1), (-v : 1 , v : 1),
            (-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , -v : 1), (-v : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 0 : 1),
            (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 , 1 : 0),
            (1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 , v : 1), (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 1 : 1),
            (1 : 0 , 1 : 0)]

        ::

            sage: P.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2, 1], GF(3))
            sage: P(P.base_ring()).points()
            [(0 : 0 : 1 , 0 : 1), (1 : 0 : 1 , 0 : 1), (2 : 0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 : 1 , 0 : 1),
            (2 : 1 : 1 , 0 : 1), (0 : 2 : 1 , 0 : 1), (1 : 2 : 1 , 0 : 1), (2 : 2 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 0 , 0 : 1),
            (1 : 1 : 0 , 0 : 1), (2 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 : 0 , 0 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 1), (1 : 0 : 1 , 1 : 1),
            (2 : 0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 : 1 , 1 : 1), (2 : 1 : 1 , 1 : 1), (0 : 2 : 1 , 1 : 1),
            (1 : 2 : 1 , 1 : 1), (2 : 2 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 : 0 , 1 : 1), (2 : 1 : 0 , 1 : 1),
            (1 : 0 : 0 , 1 : 1), (0 : 0 : 1 , 2 : 1), (1 : 0 : 1 , 2 : 1), (2 : 0 : 1 , 2 : 1), (0 : 1 : 1 , 2 : 1),
            (1 : 1 : 1 , 2 : 1), (2 : 1 : 1 , 2 : 1), (0 : 2 : 1 , 2 : 1), (1 : 2 : 1 , 2 : 1), (2 : 2 : 1 , 2 : 1),
            (0 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 1 : 0 , 2 : 1), (2 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 0 : 0 , 2 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 0),
            (1 : 0 : 1 , 1 : 0), (2 : 0 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 : 1 , 1 : 0), (2 : 1 : 1 , 1 : 0),
            (0 : 2 : 1 , 1 : 0), (1 : 2 : 1 , 1 : 0), (2 : 2 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 1 : 0 , 1 : 0),
            (2 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 : 0 , 1 : 0)]
        """
        X = self.codomain()

        from sage.schemes.product_projective.space import is_ProductProjectiveSpaces
        if not is_ProductProjectiveSpaces(X) and X.base_ring() in Fields():
            # no points
            if X.dimension() == -1:
                return []
            # if X is zero-dimensional
            if X.dimension() == 0:
                points = set()
                # find points from all possible affine patches
                for I in xmrange([
                        n + 1 for n in
                        X.ambient_space().dimension_relative_components()
                ]):
                    [Y, phi] = X.affine_patch(I, True)
                    aff_points = Y.rational_points()
                    for PP in aff_points:
                        points.add(phi(PP))
                return list(points)
        R = self.value_ring()
        points = []
        if R in NumberFields():
            if not B > 0:
                raise TypeError("a positive bound B (= %s) must be specified" %
                                B)
            for P in X.ambient_space().points_of_bounded_height(B, prec):
                try:
                    points.append(X(P))
                except TypeError:
                    pass
            return points
        if is_FiniteField(R):
            for P in X.ambient_space().rational_points():
                try:
                    points.append(X(P))
                except TypeError:
                    pass
            return points
        else:
            raise TypeError("unable to enumerate points over %s" % R)