def invertMatrixZN(M, N):
"""Invertiert eine Matrix M in ZN mit dem Gauss-Jordan-Algorithmus, indem
die Matrix zu einer Einheitsmatrix umgeformt und die entsprechenden Schritte
auf einer Einheitsmatrix wiederholt werden, die dann am Schluss die Inverse
darstellt.
"""
n = M.shape[0] # shape = (nzeilen, nspalten), also shape[0] = nzeilen
M = M.copy() # nicht an der Originalmatrix rumspielen
I = np.identity(n, int) # Einheitsmatrix -> wird später das Ergebnis
for row in range(n):
if not invertierbar(M[row, row], N):
# müssen Zeilen tauschen
for j in range(row+1, n):
if invertierbar(M[j, row], N):
tmp = M[row, :].copy()
M[row, :] = M[j, :]
M[j, :] = tmp
tmp = I[row, :].copy()
I[row, :] = I[j, :]
I[j, :] = tmp
break
else:
# hier kommen wir hin wenn die for-Schleife nicht durch ein
# break beendet wurde, also keine geeignete Zeile zum Tauschen
# existiert
raise ValueError("Matrix nicht invertierbar")
# Zeile mit dem Inversen des Pivot-Elements multiplizieren, um eine 1
# auf der Diagonalen zu erreichen
faktor = invertZN(M[row, row], N)
M[row, :] = (M[row, :] * faktor) % N
I[row, :] = (I[row, :] * faktor) % N
# Nullen unterhalb des aktuellen Pivots erzeugen
for j in range(row + 1, n):
if invertierbar(M[j, row], N):
faktor = invertZN(M[j, row], N)
M[j, :] = (M[j, :] * faktor - M[row, :]) % N
I[j, :] = (I[j, :] * faktor - I[row, :]) % N
elif M[j, row] != 0:
# In Z_N können Nullteiler auftreten, z.B. die 8 in Z_{12}.
# Um dort eine 0 zu erzeugen, müssen wir mit dem kgV der beiden
# Zahlen multiplizieren. Da ggt*kgv = mn gilt, können wir dazu
# den bereits implementierten ggt-Algorithmus nehmen.
faktor = N * M[j, row] // krypto1.ggT(N, M[j, row])
M[j, :] = (M[j, :] * faktor) % N
I[j, :] = (I[j, :] * faktor) % N
# jetzt haben wir eine obere Dreiecksmatrix. Um daraus eine Diagonalmatrix
# zu machen, müssen wir nun noch einmal von unten nach oben durchgehen
# um die Einträge oberhalb der Diagonalen zu Nullen zu machen.
for row in range(n-1, -1, -1):
for j in range(row + 1, n):
faktor = M[row, j]
M[row, :] = (M[row, :] - faktor*M[j, :]) % N
I[row, :] = (I[row, :] - faktor*I[j, :]) % N
return I
def invertierbar(a, N):
"""Gibt an ob eine Zahl a invertierbar in Z_N ist."""
return krypto1.ggT(a, N) == 1